Как найти значение производной функции f(x) = (x²-1)/(x-2) - 1/3x³ в точке x₀ = -1?

Чтобы найти значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0 = -1$ для функции $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2} - \frac{1}{3}x^3$, нужно сделать несколько шагов: 1. **Найти производную функции $f(x)$**. Для этого используем правила дифференцирования: * Производная дроби: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ * Производная $x^n$: $(x^n)' = nx^{n-1}$ $$f'(x) = \left(\frac{x^2 - 1}{x - 2}\right)' - \left(\frac{1}{3}x^3\right)'$$ $$f'(x) = \frac{(2x)(x - 2) - (x^2 - 1)(1)}{(x - 2)^2} - x^2$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 1}{(x - 2)^2} - x^2$$ $$f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x - 2)^2} - x^2$$ 2. **Упростить выражение для производной (если это необходимо)**. В данном случае можно оставить так. 3. **Подставить значение $x_0 = -1$ в производную $f'(x)$**: $$f'(-1) = \frac{(-1)^2 - 4(-1) + 1}{(-1 - 2)^2} - (-1)^2$$ $$f'(-1) = \frac{1 + 4 + 1}{(-3)^2} - 1$$ $$f'(-1) = \frac{6}{9} - 1$$ $$f'(-1) = \frac{2}{3} - 1$$ $$f'(-1) = -\frac{1}{3}$$ **Ответ: $f'(-1) = -\frac{1}{3}$**