Вычисли значения выражений в заданиях 42 и 43

Конечно, давай помогу! **42.1** $$(\sqrt[6]{7^3})^2 = (7^3)^{\frac{1}{6}*2} = (7^3)^{\frac{1}{3}} = 7^{3*\frac{1}{3}} = 7$$ Здесь мы сначала представили корень в виде степени, а потом перемножили показатели. **42.2** $$(\sqrt[6]{9})^{-3} = (9^{\frac{1}{6}})^{-3} = 9^{-\frac{3}{6}} = 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$$ Тут мы тоже сначала перешли к степеням, потом упростили и избавились от отрицательной степени. **42.3** $$(\sqrt[10]{32})^2 = (32^{\frac{1}{10}})^2 = 32^{\frac{2}{10}} = 32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2$$ Здесь мы использовали свойства степеней и определение корня. **42.4** $$(\sqrt[8]{16})^{-4} = (16^{\frac{1}{8}})^{-4} = 16^{-\frac{4}{8}} = 16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$$ Здесь мы избавились от отрицательной степени и вычислили корень. **43.1** $$\sqrt[3]{\sqrt{729}} = \sqrt[3]{\sqrt{9^3}} = \sqrt[3]{9^{\frac{3}{2}}} = (9^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 9^{\frac{3}{2}*\frac{1}{3}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$$ Здесь мы упростили выражение, используя свойства корней и степеней. **43.2** $$\sqrt[5]{\sqrt{1024}} = \sqrt[5]{\sqrt{2^{10}}} = \sqrt[5]{2^{\frac{10}{2}}} = \sqrt[5]{2^5} = 2$$ Тут мы представили число под корнем как степень и упростили выражение. **43.3** $$\sqrt[3]{\sqrt{9}} \cdot \sqrt[9]{3^7} = \sqrt[6]{3^2} \cdot \sqrt[9]{3^7} = 3^{\frac{2}{6}} \cdot 3^{\frac{7}{9}} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{9}} = 3^{\frac{1}{3} + \frac{7}{9}} = 3^{\frac{3}{9} + \frac{7}{9}} = 3^{\frac{10}{9}} = 3^{\frac{9}{9} + \frac{1}{9}} = 3^{1+\frac{1}{9}} = 3 \cdot \sqrt[9]{3}$$ Здесь мы использовали свойства корней и степеней, чтобы упростить выражение. **43.4** $$\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}} \cdot \sqrt[6]{5^5} = \sqrt[12]{5^2} \cdot \sqrt[6]{5^5} = 5^{\frac{2}{12}} \cdot 5^{\frac{5}{6}} = 5^{\frac{1}{6}} \cdot 5^{\frac{5}{6}} = 5^{\frac{1}{6} + \frac{5}{6}} = 5^{\frac{6}{6}} = 5^1 = 5$$ Тут мы использовали свойства корней и степеней, чтобы упростить выражение. Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если есть ещё вопросы, не стесняйся, спрашивай.