Найди все значения параметра k, при которых уравнение (к - 1)x² + (k + 4)x + k + 7 = 0 имеет единственное решение.

Для того, чтобы уравнение $(k - 1)x^2 + (k + 4)x + k + 7 = 0$ имело единственное решение, нужно рассмотреть два случая: 1. Когда $(k - 1) = 0$, то есть $k = 1$. Тогда уравнение превращается в $(1 + 4)x + 1 + 7 = 0$, то есть $5x + 8 = 0$. Это линейное уравнение, и оно имеет единственное решение $x = -\frac{8}{5}$. Значит, $k = 1$ подходит. 2. Когда $(k - 1) \neq 0$, то есть $k \neq 1$. Тогда уравнение является квадратным. Чтобы квадратное уравнение имело единственное решение, его дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a = k - 1$, $b = k + 4$, $c = k + 7$. Подставляем значения и приравниваем к нулю: $$(k + 4)^2 - 4(k - 1)(k + 7) = 0$$ $$k^2 + 8k + 16 - 4(k^2 + 7k - k - 7) = 0$$ $$k^2 + 8k + 16 - 4(k^2 + 6k - 7) = 0$$ $$k^2 + 8k + 16 - 4k^2 - 24k + 28 = 0$$ $$-3k^2 - 16k + 44 = 0$$ $$3k^2 + 16k - 44 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение относительно $k$. Дискриминант $D_k$ будет: $$D_k = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-44) = 256 + 528 = 784$$ Тогда корни $k_1$ и $k_2$ будут: $$k_1 = \frac{-16 + \sqrt{784}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 + 28}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$k_2 = \frac{-16 - \sqrt{784}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 - 28}{6} = \frac{-44}{6} = -\frac{22}{3}$$ Итак, мы нашли три значения $k$, при которых уравнение имеет единственное решение: $k = 1$, $k = 2$, $k = -\frac{22}{3}$. **Ответ:** $k = 1; k = 2; k = -\frac{22}{3}$