Ты просишь решить неравенство (2x + 9)/3)^2 - ((12 - x)/4)^2 > 0 и найти cos α и ctg α, если sin α = 5/13 и 0 < α < π/2.

3. Решим неравенство: $$(\frac{2x + 9}{3})^2 - (\frac{12 - x}{4})^2 > 0$$ Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$(\frac{2x + 9}{3} - \frac{12 - x}{4})(\frac{2x + 9}{3} + \frac{12 - x}{4}) > 0$$ Приведем к общему знаменателю в каждой скобке: $$(\frac{4(2x + 9) - 3(12 - x)}{12})(\frac{4(2x + 9) + 3(12 - x)}{12}) > 0$$ Раскроем скобки: $$(\frac{8x + 36 - 36 + 3x}{12})(\frac{8x + 36 + 36 - 3x}{12}) > 0$$ $$(\frac{11x}{12})(\frac{5x + 72}{12}) > 0$$ Умножим обе части на $12 * 12 = 144$ (положительное число, знак не меняется): $$11x(5x + 72) > 0$$ Найдем корни: $11x = 0$ или $5x + 72 = 0$ $x = 0$ или $x = -\frac{72}{5} = -14,4$ Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах: ----(-14.4)----(0)----> На интервале $(-\infty, -14.4)$ оба множителя отрицательны, произведение положительно. На интервале $(-14.4, 0)$ первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательно. На интервале $(0, +\infty)$ оба множителя положительны, произведение положительно. Решение неравенства: $x < -14.4$ или $x > 0$. **Ответ: $x \in (-\infty, -14.4) \cup (0, +\infty)$** 4. Дано: $sin \alpha = \frac{5}{13}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Нужно найти $cos \alpha$ и $ctg \alpha$. Так как $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, то $cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$ $cos \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ (так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, косинус положительный). $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{13} * \frac{13}{5} = \frac{12}{5} = 2,4$ **Ответ: $cos \alpha = \frac{12}{13}$, $ctg \alpha = \frac{12}{5}$**