Помоги решить задачи с векторами: 1000, 1001, 1002 и 1003 а

1000. Смотри, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) будут коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это значит, что один вектор можно получить из другого, умножив на какое-то число (скаляр). а) Чтобы выяснить, будут ли коллинеарными векторы \(\vec{a} + 3\vec{b}\) и \(\vec{a}\), нужно проверить, можно ли вектор \(\vec{a} + 3\vec{b}\) выразить как \(k \cdot \vec{a}\), где \(k\) - какое-то число. В общем случае это не так, поэтому они не коллинеарны. б) Аналогично, чтобы проверить коллинеарность \(\vec{b} - 2\vec{a}\) и \(\vec{a}\), нужно выяснить, можно ли \(\vec{b} - 2\vec{a}\) выразить как \(k \cdot \vec{a}\). Это тоже не всегда верно, значит, они не коллинеарны, если \(\vec{b}\) не равен \(k \cdot \vec{a}\). 1001. Тут надо доказать, что если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны, то и векторы, полученные из них, тоже не будут коллинеарны. а) Возьмем векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} - \vec{b}\). Если предположить, что они коллинеарны, то \(\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})\). Раскрывая скобки, получим \(\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}\). Перегруппируем: \((1-k)\vec{a} = -(1+k)\vec{b}\). Но это значит, что \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, что противоречит условию. Значит, векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} - \vec{b}\) не коллинеарны. б) Берем векторы \(2\vec{a} - \vec{b}\) и \(\vec{a} + \vec{b}\). Если они коллинеарны, то \(2\vec{a} - \vec{b} = k(\vec{a} + \vec{b})\). Раскрываем скобки: \(2\vec{a} - \vec{b} = k\vec{a} + k\vec{b}\). Перегруппируем: \((2-k)\vec{a} = (1+k)\vec{b}\). Опять получаем, что \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, что неверно. Значит, векторы \(2\vec{a} - \vec{b}\) и \(\vec{a} + \vec{b}\) не коллинеарны. в) Берем векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} + 3\vec{b}\). Если они коллинеарны, то \(\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} + 3\vec{b})\). Раскрываем скобки: \(\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} + 3k\vec{b}\). Перегруппируем: \((1-k)\vec{a} = (3k-1)\vec{b}\). Снова получаем, что \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, что неверно. Значит, векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} + 3\vec{b}\) не коллинеарны. 1002. Допущение: Разложить вектор \(\vec{AM}\) по векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), где \(\vec{a} = \vec{AB}\) и \(\vec{b} = \vec{AD}\), если точка M лежит на диагонали AC параллелограмма ABCD и \(AM : MC = 4 : 1\). Т.к. \(AM : MC = 4 : 1\), то \(\vec{AM} = \frac{4}{5} \vec{AC}\). В параллелограмме \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\), значит, \(\vec{AM} = \frac{4}{5} (\vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{4}{5} \vec{AB} + \frac{4}{5} \vec{AD}\). Подставляем \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \(\vec{AM} = \frac{4}{5} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b}\). 1003. а) \(3\vec{a} - x\vec{b} = y\vec{a} + \vec{b}\). Сгруппируем векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \(3\vec{a} - y\vec{a} = \vec{b} + x\vec{b}\), то есть \((3-y)\vec{a} = (1+x)\vec{b}\). Так как \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны, то равенство возможно только если \(3-y = 0\) и \(1+x = 0\). Получаем \(y = 3\) и \(x = -1\). б) \(4\vec{a} - x\vec{a} + 5\vec{b} + y\vec{b} = 0\). Сгруппируем векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \((4-x)\vec{a} + (5+y)\vec{b} = 0\). Так как \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны, то равенство возможно только если \(4-x = 0\) и \(5+y = 0\). Получаем \(x = 4\) и \(y = -5\). в) \(x\vec{a} + 3\vec{b} - y\vec{b} = 0\). Сгруппируем векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \(x\vec{a} + (3-y)\vec{b} = 0\). Так как \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны, то равенство возможно только если \(x = 0\) и \(3-y = 0\). Получаем \(x = 0\) и \(y = 3\). г) \(\vec{a} + \vec{b} - 3y\vec{a} + x\vec{b} = 0\). Сгруппируем векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \((1-3y)\vec{a} + (1+x)\vec{b} = 0\). Так как \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны, то равенство возможно только если \(1-3y = 0\) и \(1+x = 0\). Получаем \(y = \frac{1}{3}\) и \(x = -1\). **Ответ:** 1000. а) Не коллинеарны; б) Не коллинеарны. 1001. Доказано. 1002. \(\vec{AM} = \frac{4}{5} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b}\) 1003. а) \(x = -1\) и \(y = 3\); б) \(x = 4\) и \(y = -5\); в) \(x = 0\) и \(y = 3\); г) \(x = -1\) и \(y = \frac{1}{3}\).