Какие из следующих утверждений верны: 1) В прямоугольным треугольнике сумма острых углов больше 90°?

19. Сейчас разберемся, какие утверждения верные: 1) В прямоугольном треугольнике сумма острых углов всегда равна 90°, а не больше. Так что это утверждение неверно. 2) Центр окружности, вписанной в угол, всегда лежит на биссектрисе этого угла. Это утверждение верно. 3) Проекция диагонали равнобедренной трапеции на основание равна полусумме оснований. Это утверждение верно. **Ответ: 23** 20. Решим уравнение $\frac{4}{x^2} + \frac{8}{x} - 5 = 0$. Умножим все на $x^2$, чтобы избавиться от дробей: $$4 + 8x - 5x^2 = 0$$ $$5x^2 - 8x - 4 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$$ Теперь найдем корни: $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 12}{10} = \frac{20}{10} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 12}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4$$ **Ответ: x = 2, x = -0.4** 21. Давай решим задачу про бригады. Пусть вторая бригада делает $x$ приборов в день, тогда первая делает $x + 15$ приборов. Время, за которое вторая бригада выполняет заказ, равно $\frac{270}{x}$ дней, а время, за которое первая бригада выполняет заказ, равно $\frac{270}{x+15}$ дней. Из условия задачи известно, что первая бригада заканчивает работу на 3 дня раньше, чем вторая. Получаем уравнение: $$\frac{270}{x} - \frac{270}{x+15} = 3$$ Чтобы решить это уравнение, избавимся от дробей. Умножим обе части уравнения на $x(x+15)$: $$270(x+15) - 270x = 3x(x+15)$$ Раскроем скобки: $$270x + 4050 - 270x = 3x^2 + 45x$$ $$4050 = 3x^2 + 45x$$ Разделим обе части на 3: $$1350 = x^2 + 15x$$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 + 15x - 1350 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1350) = 225 + 5400 = 5625$$ Теперь найдем корни: $$x_1 = \frac{-15 + \sqrt{5625}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 + 75}{2} = \frac{60}{2} = 30$$ $$x_2 = \frac{-15 - \sqrt{5625}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 - 75}{2} = \frac{-90}{2} = -45$$ Так как количество приборов не может быть отрицательным, берем $x = 30$. **Ответ: Вторая бригада делает 30 приборов в день.** 22. Чтобы построить график функции $y = \frac{(x^2 - 4)(x^2 - 2x - 5)}{(x - 2)(x + 2)}$ и определить, при каких значениях $k$ прямая $y = k$ имеет с графиком ровно одну общую точку, нужно сначала упростить выражение для функции $y$. Заметим, что $x^2 - 4$ можно разложить на $(x - 2)(x + 2)$. Тогда функция примет вид: $y = \frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 - 2x - 5)}{(x - 2)(x + 2)}$ Теперь можно сократить $(x - 2)$ и $(x + 2)$, но важно помнить, что $x$ не может быть равен 2 и -2, так как на ноль делить нельзя. Получаем: $y = x^2 - 2x - 5$, при $x \neq 2$ и $x \neq -2$ Это парабола. Давай найдем вершину параболы. Для этого используем формулу $x_в = \frac{-b}{2a}$, где $a = 1$ и $b = -2$: $x_в = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1$ Теперь найдем значение $y$ в вершине: $y_в = 1^2 - 2 \cdot 1 - 5 = 1 - 2 - 5 = -6$ Итак, вершина параболы находится в точке $(1, -6)$. Теперь посмотрим на точки, которые мы исключили: $x = 2$ и $x = -2$. Подставим их в упрощенное уравнение параболы: Для $x = 2$: $y = 2^2 - 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 4 - 5 = -5$ Для $x = -2$: $y = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 5 = 4 + 4 - 5 = 3$ Значит, у нас есть две выколотые точки на параболе: $(2, -5)$ и $(-2, 3)$. Теперь, чтобы прямая $y = k$ имела с графиком ровно одну общую точку, она должна либо проходить через вершину параболы, либо через одну из выколотых точек. 1) Прямая проходит через вершину параболы: $k = -6$ 2) Прямая проходит через выколотую точку $(2, -5)$: $k = -5$ 3) Прямая проходит через выколотую точку $(-2, 3)$: $k = 3$ **Ответ: k = -6, k = -5, k = 3**