Ты просишь проверить, имеет ли смысл выражение: $\sqrt[5]{(-2)^3}$.

Привет! Давай разберемся с этими заданиями по порядку. 1. Чтобы выражение с корнем имело смысл, нужно, чтобы под корнем четной степени (2, 4, 6 и т.д.) стояло неотрицательное число, а под корнем нечетной степени может стоять любое число. * $\sqrt[5]{(-2)^3}$: Здесь корень 5-й степени (нечетный), поэтому выражение имеет смысл. * $\sqrt[8]{(-3)^5}$: Здесь корень 8-й степени (четный). $(-3)^5$ – это отрицательное число, значит, выражение не имеет смысла. * $\sqrt[10]{(-7)^4}$: Здесь корень 10-й степени (четный). $(-7)^4$ – это положительное число, значит, выражение имеет смысл. 2. Теперь посмотрим, при каких значениях $a$ имеют смысл выражения: * $\sqrt[4]{a^3}$: Корень четной степени, значит, $a^3 \geq 0$, то есть $a \geq 0$. * $\sqrt[5]{a}$: Корень нечетной степени, значит, $a$ может быть любым числом. * $\sqrt[8]{-3a^5}$: Корень четной степени, значит, $-3a^5 \geq 0$. Это выполняется, когда $a^5 \leq 0$, то есть $a \leq 0$. * $\sqrt[6]{1-a^2}$: Корень четной степени, значит, $1-a^2 \geq 0$. Это выполняется, когда $a^2 \leq 1$, то есть $-1 \leq a \leq 1$. * $\sqrt[7]{\frac{a}{a-2}}$: Корень нечетной степени, значит, выражение под корнем может быть любым, но знаменатель не должен быть равен нулю. То есть $a \neq 2$. * $\sqrt[20]{-a^2}$: Корень четной степени, значит, $-a^2 \geq 0$. Это выполняется только когда $a = 0$. 3. Проверим равенства: * $\sqrt[6]{64} = -2$: Это неверно, потому что корень четной степени всегда неотрицателен. $\sqrt[6]{64} = 2$. * $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 2$: Возведем обе части в квадрат: слева $7-4\sqrt{3}$, справа $(\sqrt{3} - 2)^2 = 3 - 4\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\sqrt{3}$. Равенство верно. * $\sqrt{15-6\sqrt{6}} = 3 - \sqrt{6}$: Возведем обе части в квадрат: слева $15-6\sqrt{6}$, справа $(3 - \sqrt{6})^2 = 9 - 6\sqrt{6} + 6 = 15 - 6\sqrt{6}$. Равенство верно. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!