Как решить неравенство (x-1) / (x^2+4x+2) < 0?

Давай решим неравенство $\frac{x-1}{x^2+4x+2} < 0$. 1. **Находим нули числителя и знаменателя** * Числитель: $x - 1 = 0$, значит, $x = 1$. * Знаменатель: $x^2 + 4x + 2 = 0$. Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$$ Корни: $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 + 2\sqrt{2}}{2} = -2 + \sqrt{2} \approx -0.59$$ $$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 - 2\sqrt{2}}{2} = -2 - \sqrt{2} \approx -3.41$$ 2. **Отмечаем корни на числовой прямой** ----(-3.41)----(-0.59)----(1)----> Отметим точки $x = -2 - \sqrt{2}$, $x = -2 + \sqrt{2}$ и $x = 1$ на числовой прямой. Важно помнить, что точки, где знаменатель равен нулю (то есть $x = -2 \pm \sqrt{2}$), не входят в решение, так как на ноль делить нельзя. Точка $x = 1$ тоже не входит в решение, так как неравенство строгое. 3. **Определяем знаки на интервалах** Рассмотрим четыре интервала: * $x < -2 - \sqrt{2}$ (например, $x = -4$): $$\frac{-4-1}{(-4)^2 + 4(-4) + 2} = \frac{-5}{16 - 16 + 2} = \frac{-5}{2} < 0$$ * $-2 - \sqrt{2} < x < -2 + \sqrt{2}$ (например, $x = -1$): $$\frac{-1-1}{(-1)^2 + 4(-1) + 2} = \frac{-2}{1 - 4 + 2} = \frac{-2}{-1} = 2 > 0$$ * $-2 + \sqrt{2} < x < 1$ (например, $x = 0$): $$\frac{0-1}{0^2 + 4(0) + 2} = \frac{-1}{2} < 0$$ * $x > 1$ (например, $x = 2$): $$\frac{2-1}{2^2 + 4(2) + 2} = \frac{1}{4 + 8 + 2} = \frac{1}{14} > 0$$ 4. **Записываем решение** Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это: $$x < -2 - \sqrt{2}$$ и $$-2 + \sqrt{2} < x < 1$$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}; 1)$