Проверь справедливость равенства $\frac{\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{19 - 8\sqrt{3}}}{4 - \sqrt{3}} - \sqrt{3} = 2$

Привет! Давай проверим это равенство вместе. Уверен, у нас всё получится! Чтобы проверить справедливость равенства $\frac{\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{19 - 8\sqrt{3}}}{4 - \sqrt{3}} - \sqrt{3} = 2$, нам нужно упростить выражение в левой части и убедиться, что оно равно 2. 1. **Упростим $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$**: Заметим, что $7 + 4\sqrt{3}$ можно представить как полный квадрат. Действительно, $(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$. Таким образом, $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$. 2. **Упростим $\sqrt{19 - 8\sqrt{3}}$**: Аналогично, попробуем представить $19 - 8\sqrt{3}$ как полный квадрат. Заметим, что $(4 - \sqrt{3})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 16 - 8\sqrt{3} + 3 = 19 - 8\sqrt{3}$. Таким образом, $\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} = \sqrt{(4 - \sqrt{3})^2} = 4 - \sqrt{3}$. 3. **Подставим упрощенные выражения в исходное равенство**: Теперь у нас есть: $\frac{(2 + \sqrt{3}) \cdot (4 - \sqrt{3})}{4 - \sqrt{3}} - \sqrt{3} = 2$. Сократим $(4 - \sqrt{3})$ в числителе и знаменателе: $\frac{(2 + \sqrt{3}) \cdot (4 - \sqrt{3})}{4 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$. Тогда выражение примет вид: $(2 + \sqrt{3}) - \sqrt{3} = 2$. 4. **Упростим выражение**: $(2 + \sqrt{3}) - \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$. Таким образом, $2 = 2$, что является верным утверждением. **Ответ: Равенство справедливо.**