Объясни, как решить задания 6-12 из упражнения по математике

## Номер 6 Чтобы определить, какие из десятичных дробей являются иррациональными числами, нужно вспомнить, что: * Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q$ не равно 0. Они могут быть конечными десятичными дробями или бесконечными, но периодическими. * Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби. Их десятичные представления бесконечные и непериодические. Теперь рассмотрим каждый вариант: 1) 16,9 — это конечная десятичная дробь, поэтому она рациональная. 2) 7,25(4) — это периодическая десятичная дробь, поэтому она рациональная. 3) 1,21221222... — здесь после каждой единицы количество двоек увеличивается, что делает дробь непериодической, следовательно, это иррациональное число. 4) 99,1357911... — здесь после запятой записаны все нечётные числа подряд. Эта дробь непериодическая, следовательно, это иррациональное число. **Ответ:** Иррациональными числами являются варианты 3 и 4. ## Номер 7 Чтобы установить, какая из пар чисел 5,4 и 5,5 или 5,5 и 5,6 образует десятичные приближения числа $\sqrt{31}$ с недостатком и избытком, нужно сравнить квадраты этих чисел с числом 31. * $5,4^2 = 29,16$ * $5,5^2 = 30,25$ * $5,6^2 = 31,36$ Теперь сравним с 31: * 29,16 < 31 (недостаток) * 30,25 < 31 (недостаток) * 31,36 > 31 (избыток) Пара чисел 5,5 и 5,6 образует десятичные приближения числа $\sqrt{31}$ с недостатком и избытком. **Ответ:** Пара 5,5 и 5,6 ## Номер 8 Чтобы определить, какое из равенств $|x| = x$ или $|x| = -x$ является верным, нужно рассмотреть каждый случай. $|x| = x$ верно, если $x$ неотрицательное число (то есть $x \geq 0$). $|x| = -x$ верно, если $x$ отрицательное число (то есть $x \leq 0$). 1) $x = 5 - \sqrt{7}$. Поскольку $\sqrt{7} \approx 2,65$, то $x \approx 5 - 2,65 = 2,35 > 0$. Значит, верно $|x| = x$. 2) $x = 4 - 3\sqrt{3}$. Поскольку $3\sqrt{3} \approx 3 \cdot 1,73 = 5,19$, то $x \approx 4 - 5,19 = -1,19 < 0$. Значит, верно $|x| = -x$. 3) $x = 5 - \sqrt{10}$. Поскольку $\sqrt{10} \approx 3,16$, то $x \approx 5 - 3,16 = 1,84 > 0$. Значит, верно $|x| = x$. **Ответ:** 1) $|x| = x$, 2) $|x| = -x$, 3) $|x| = x$ ## Номер 9 Чтобы выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения, нужно упростить каждое выражение. 1) $(\sqrt{8} - 3)(3 + 2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2} - 3)(3 + 2\sqrt{2}) = 4 \cdot 2 - 9 = 8 - 9 = -1$. Это рациональное число. 2) $(\sqrt{27} - 2)(2 - 3\sqrt{3}) = (3\sqrt{3} - 2)(2 - 3\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} - 27 - 4 + 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} - 31$. Это иррациональное число. 3) $(\sqrt{50} + 4\sqrt{2}) \sqrt{2} = (5\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) \sqrt{2} = 9\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18$. Это рациональное число. 4) $(5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3} = (5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) : \sqrt{3} = 8\sqrt{3} : \sqrt{3} = 8$. Это рациональное число. 5) $(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2 = (3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1) = 4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 8$. Это рациональное число. 6) $(\sqrt{5} - 1)^2 - (2\sqrt{5} + 1)^2 = (5 - 2\sqrt{5} + 1) - (20 + 4\sqrt{5} + 1) = 6 - 2\sqrt{5} - 21 - 4\sqrt{5} = -15 - 6\sqrt{5}$. Это иррациональное число. **Ответ:** 1) рациональное, 2) иррациональное, 3) рациональное, 4) рациональное, 5) рациональное, 6) иррациональное ## Номер 10 Чтобы вычислить значения выражений, нужно упростить каждое выражение, используя свойства квадратных корней. 1) $\sqrt{63} \cdot \sqrt{28} = \sqrt{9 \cdot 7} \cdot \sqrt{4 \cdot 7} = 3\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} = 6 \cdot 7 = 42$ 2) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$ 3) $\sqrt{50} : \sqrt{8} = \sqrt{\frac{50}{8}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2,5$ 4) $\sqrt{12} : \sqrt{27} = \sqrt{\frac{12}{27}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ **Ответ:** 1) 42, 2) 10, 3) 2,5, 4) $\frac{2}{3}$ ## Номер 11 Чтобы сравнить числовые значения выражений, нужно оценить каждое выражение и сравнить их. 1) $\sqrt{3,9} + \sqrt{8}$ и $1,1 + \sqrt{17}$. * $\sqrt{3,9} \approx \sqrt{4} = 2$ * $\sqrt{8} \approx \sqrt{9} = 3$ * $\sqrt{3,9} + \sqrt{8} \approx 2 + 3 = 5$ * $\sqrt{17} \approx \sqrt{16} = 4$ * $1,1 + \sqrt{17} \approx 1,1 + 4 = 5,1$ Следовательно, $1,1 + \sqrt{17}$ больше, чем $\sqrt{3,9} + \sqrt{8}$. 2) $\sqrt{11} - \sqrt{2,1}$ и $\sqrt{10} - \sqrt{3,1}$. * $\sqrt{11} \approx \sqrt{9} = 3$ * $\sqrt{2,1} \approx \sqrt{2,25} = 1,5$ * $\sqrt{11} - \sqrt{2,1} \approx 3 - 1,5 = 1,5$ * $\sqrt{10} \approx \sqrt{9} = 3$ * $\sqrt{3,1} \approx \sqrt{3} = 1,7$ * $\sqrt{10} - \sqrt{3,1} \approx 3 - 1,7 = 1,3$ Следовательно, $\sqrt{11} - \sqrt{2,1}$ больше, чем $\sqrt{10} - \sqrt{3,1}$. **Ответ:** 1) $\sqrt{3,9} + \sqrt{8} < 1,1 + \sqrt{17}$, 2) $\sqrt{11} - \sqrt{2,1} > \sqrt{10} - \sqrt{3,1}$ ## Номер 12 Чтобы вычислить значения выражений, нужно упростить каждое выражение. 1) $(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} + \sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{5}$. * $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + 2} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{2}| = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ * $(\sqrt{5} - \sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$ 2) $\sqrt{(\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} + \sqrt{7}) \cdot 3}$. * $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = \sqrt{9 - 2 \cdot 3 \sqrt{7} + 7} = \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$ * $(3 - \sqrt{7} + \sqrt{7}) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$ * $\sqrt{9} = 3$ 3) $\sqrt{(\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{15}}) \cdot 2} + 7$. * $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{5 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + 3} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ * $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + 3} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ * $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - (\sqrt{5} - \sqrt{3})) \cdot 2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot 2 = 2\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3}$ * $\sqrt{4\sqrt{3}} \cdot 2 + 7 = 2\sqrt{3} \cdot 2 + 7 = 4\sqrt{3} + 7$ **Ответ:** 1) 10, 2) 3, 3) $4\sqrt{3} + 7$