Помоги найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, если основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см.

Для решения задачи 689, нам нужно найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 13 см. Сначала найдём высоту треугольника, проведённую к основанию. Обозначим высоту как $h$. Так как треугольник равнобедренный, высота является и медианой, поэтому она делит основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 5 см. По теореме Пифагора: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. Теперь найдём площадь треугольника $S$: $S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см$^2$. Далее найдём полупериметр треугольника $p$: $p = \frac{1}{2} (10 + 13 + 13) = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$ см. Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле: $r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} $r = 3 \frac{1}{3}$ см или примерно 3,33 см. **Ответ: Радиус вписанной окружности равен $\frac{10}{3}$ см.**