Можешь ли ты решить уравнения: a) 4cos²x + 4sinx - 1 = 0

Конечно, я помогу тебе решить эти уравнения! a) $4\cos^2 x + 4\sin x - 1 = 0$ Мы знаем, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, поэтому можем переписать уравнение как: $4(1 - \sin^2 x) + 4\sin x - 1 = 0$ $4 - 4\sin^2 x + 4\sin x - 1 = 0$ $-4\sin^2 x + 4\sin x + 3 = 0$ $4\sin^2 x - 4\sin x - 3 = 0$ Пусть $y = \sin x$, тогда уравнение станет: $4y^2 - 4y - 3 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$ $y_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ $y_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$ Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $y_1 = \frac{3}{2}$ не подходит. Значит, $\sin x = -\frac{1}{2}$. Решения: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. б) $2\cos^2 x - \sin 2x = 0$ Мы знаем, что $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, поэтому уравнение можно переписать как: $2\cos^2 x - 2\sin x \cos x = 0$ $2\cos x(\cos x - \sin x) = 0$ Это уравнение распадается на два случая: 1) $\cos x = 0$ $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos x - \sin x = 0$ $\cos x = \sin x$ $\tan x = 1$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. в) $\cos x + \cos 3x = \cos 2x$ Используем формулу суммы косинусов: $\cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$ $\cos x + \cos 3x = 2 \cos \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} = 2 \cos 2x \cos (-x) = 2 \cos 2x \cos x$ Тогда уравнение можно переписать как: $2 \cos 2x \cos x = \cos 2x$ $2 \cos 2x \cos x - \cos 2x = 0$ $\cos 2x (2 \cos x - 1) = 0$ Это уравнение распадается на два случая: 1) $\cos 2x = 0$ $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2) $2 \cos x - 1 = 0$ $\cos x = \frac{1}{2}$ $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.