Можешь доказать, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если а) ∠BAC=∠ACD и ∠BCA=∠DAC?

Конечно, давай докажем! а) Если углы $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, то это значит, что у нас есть две пары накрест лежащих углов, которые равны. Когда накрест лежащие углы равны, прямые, которые они образуют, параллельны. Значит, $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. А если у четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, то это параллелограмм! б) Если $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$, то тут нужно немного подумать. Так как $AB \parallel CD$, то углы $\angle A$ и $\angle D$ — внутренние односторонние, и в сумме они дают $180^\circ$. То есть, $\angle A + \angle D = 180^\circ$. Но нам дано, что $\angle A = \angle C$. Значит, мы можем заменить $\angle A$ на $\angle C$ и получить $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Это говорит нам о том, что $BC \parallel AD$ (потому что $\angle C$ и $\angle D$ — внутренние односторонние). И опять, если у четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, то это параллелограмм!