Найти производную функции ($\frac{\sqrt[3]{x\sqrt{x}} + 3x + 18}{\sqrt[3]{x}}$)

Привет! Давай вместе найдем производную этой функции. Это выглядит сложно, но мы справимся! Задание: Найти производную функции $\frac{\sqrt[3]{x\sqrt{x}} + 3x + 18}{\sqrt[3]{x}}$. Сначала упростим функцию, чтобы было легче брать производную. 1. $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ 2. $x\sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$ 3. $\sqrt[3]{x\sqrt{x}} = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}}$ 4. Теперь упростим дробь: $$\frac{\sqrt[3]{x\sqrt{x}} + 3x + 18}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^{\frac{1}{2}} + 3x + 18}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{3x}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{18}{x^{\frac{1}{3}}}$$ 5. Упростим каждый член: * $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{6}}$ * $\frac{3x}{x^{\frac{1}{3}}} = 3x^{1 - \frac{1}{3}} = 3x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} = 3x^{\frac{2}{3}}$ * $\frac{18}{x^{\frac{1}{3}}} = 18x^{-\frac{1}{3}}$ 6. Итак, упрощенная функция: $f(x) = x^{\frac{1}{6}} + 3x^{\frac{2}{3}} + 18x^{-\frac{1}{3}}$ Теперь найдем производную $f'(x)$: 1. Производная $x^{\frac{1}{6}}$: $(\frac{1}{6})x^{\frac{1}{6} - 1} = (\frac{1}{6})x^{-\frac{5}{6}}$ 2. Производная $3x^{\frac{2}{3}}$: $3 \cdot (\frac{2}{3})x^{\frac{2}{3} - 1} = 2x^{-\frac{1}{3}}$ 3. Производная $18x^{-\frac{1}{3}}$: $18 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3} - 1} = -6x^{-\frac{4}{3}}$ Собираем все вместе: $$f'(x) = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} + 2x^{-\frac{1}{3}} - 6x^{-\frac{4}{3}}$$ Можно переписать это так: $$f'(x) = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} - \frac{6}{\sqrt[3]{x^4}}$$ **Ответ:** $f'(x) = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} + 2x^{-\frac{1}{3}} - 6x^{-\frac{4}{3}}$ или $f'(x) = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} - \frac{6}{\sqrt[3]{x^4}}$