Объясни, как найти область определения и множество значений функций из упражнений 1, 2 и 3

Конечно, давай разберемся с этими заданиями по порядку! 1. **Найти область определения функции:** 1) $y = \sin 2x$ - Область определения: $x \in R$ (все действительные числа), так как синус определен для любого аргумента. *Перевод: Область определения функции синус 2x - все действительные числа, потому что синус существует для любого аргумента.* 2) $y = \cos \frac{x}{2}$ - Область определения: $x \in R$, так как косинус тоже определен для любого аргумента. *Перевод: Область определения функции косинус x/2 - все действительные числа, потому что косинус существует для любого аргумента.* 3) $y = \cos \frac{1}{x}$ - Область определения: $x \in R, x \neq 0$, потому что нельзя делить на ноль. *Перевод: Область определения функции косинус 1/x - все действительные числа, кроме нуля, так как деление на ноль невозможно.* 4) $y = \sin \frac{2}{x}$ - Область определения: $x \in R, x \neq 0$, опять же, чтобы не было деления на ноль. *Перевод: Область определения функции синус 2/x - все действительные числа, кроме нуля, так как деление на ноль невозможно.* 5) $y = \sin \sqrt{x}$ - Область определения: $x \geq 0$, так как под корнем не может быть отрицательное число. *Перевод: Область определения функции синус корень из x - x должен быть больше или равен нулю, так как корень из отрицательного числа не существует.* 6) $y = \cos \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ - Область определения: нужно решить неравенство $\frac{x-1}{x+1} \geq 0$. Это происходит, когда $x \in (-\infty, -1) \cup [1, +\infty)$. *Перевод: Область определения функции косинус корень из (x-1)/(x+1) - это значения x, которые удовлетворяют условию (x-1)/(x+1) больше или равно нулю. Это происходит, когда x меньше -1 или больше или равно 1.* 2. **Найти множество значений функции:** 1) $y = 1 + \sin x$ - Множество значений: $[0, 2]$, так как синус изменяется от -1 до 1, и мы прибавляем 1. *Перевод: Множество значений функции 1 + синус x - это отрезок от 0 до 2, потому что синус находится в пределах от -1 до 1, и мы добавляем 1 ко всем значениям.* 2) $y = 1 - \cos x$ - Множество значений: $[0, 2]$, аналогично, косинус изменяется от -1 до 1, и мы вычитаем его из 1. *Перевод: Множество значений функции 1 - косинус x - это отрезок от 0 до 2, потому что косинус находится в пределах от -1 до 1, и мы вычитаем все значения косинуса из 1.* 3) $y = 2 \sin x + 3$ - Множество значений: $[1, 5]$, так как синус изменяется от -1 до 1, умножаем на 2 и прибавляем 3. *Перевод: Множество значений функции 2 * синус x + 3 - это отрезок от 1 до 5, потому что синус в пределах от -1 до 1, мы умножаем на 2 и добавляем 3.* 4) $y = 1 - 4 \cos 2x$ - Множество значений: $[-3, 5]$, потому что косинус 2x изменяется от -1 до 1, умножаем на -4 и прибавляем 1. *Перевод: Множество значений функции 1 - 4 * косинус 2x - это отрезок от -3 до 5, потому что косинус 2x находится в пределах от -1 до 1, мы умножаем на -4 и добавляем 1.* 5) $y = \sin 2x \cos 2x + 2$ - Множество значений: $[1.5, 2.5]$. Используем формулу $\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$. Тогда $y = \frac{1}{2} \sin 4x + 2$. Множество значений синуса $[-1, 1]$, значит, множество значений функции: $[1.5, 2.5]$. *Перевод: Множество значений функции синус 2x * косинус 2x + 2 - это отрезок от 1.5 до 2.5. Мы использовали формулу, чтобы упростить выражение, и получили, что функция равна половине синуса 4x плюс 2. Синус находится в пределах от -1 до 1, поэтому итоговое множество значений - от 1.5 до 2.5.* 6) $y = \frac{1}{2} \sin x \cos x - 1$ - Множество значений: $[-1.25, -0.75]$. Используем формулу $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$. Тогда $y = \frac{1}{4} \sin 2x - 1$. Множество значений синуса $[-1, 1]$, значит, множество значений функции: $[-1.25, -0.75]$. *Перевод: Множество значений функции 1/2 * синус x * косинус x - 1 - это отрезок от -1.25 до -0.75. Мы использовали формулу, чтобы упростить выражение, и получили, что функция равна 1/4 синуса 2x минус 1. Синус находится в пределах от -1 до 1, поэтому итоговое множество значений - от -1.25 до -0.75.* 3. **Найти область определения функции:** 1) $y = \frac{1}{\cos x}$ - Область определения: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число. *Перевод: Область определения функции 1 / косинус x - это все x, при которых косинус x не равен нулю. Это происходит, когда x не равно pi/2 + pi * k, где k - любое целое число.* 2) $y = \frac{2}{\sin x}$ - Область определения: $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k$ - целое число. *Перевод: Область определения функции 2 / синус x - это все x, при которых синус x не равен нулю. Это происходит, когда x не равно pi * k, где k - любое целое число.* 3) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$ - Область определения: $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k$ - целое число. *Перевод: Область определения функции тангенс x/2 - это все x, при которых x/2 не равно pi/2 + pi * k. Значит, x не равно pi + 2 * pi * k, где k - любое целое число.* 4) $y = \operatorname{tg} 5x$ - Область определения: $5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, где $k$ - целое число. *Перевод: Область определения функции тангенс 5x - это все x, при которых 5x не равно pi/2 + pi * k. Значит, x не равно pi/10 + pi * k / 5, где k - любое целое число.*