Объясни, в каком случае говорят, что функция y = f(x) ограничена сверху, снизу и просто ограничена, и приведи примеры.

Question

Вопрос:

Объясни, в каком случае говорят, что функция y = f(x) ограничена сверху, снизу и просто ограничена, и приведи примеры.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху на множестве $X$, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из $X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$. Например, функция $y = -x^2$ ограничена сверху на множестве всех действительных чисел, потому что её значения всегда меньше или равны 0. Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из $X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Например, функция $y = x^2$ ограничена снизу на множестве всех действительных чисел, потому что её значения всегда больше или равны 0. Функция $y = f(x)$ называется ограниченной на множестве $X$, если она ограничена и сверху, и снизу. Это значит, что существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого $x$ из $X$ выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$. Например, функция $y = \sin(x)$ ограничена на множестве всех действительных чисел, потому что её значения всегда находятся между -1 и 1.

Объясни, в каком случае говорят, что функция y = f(x) ограничена сверху, снизу и просто ограничена, и приведи примеры.

Ответ ассистента

Другие решения