Ты просишь определить, какой цифрой заканчивается выражение 1) 8³¹ + 3 * 7²⁹

Конечно, давай решим! 1) Давай посмотрим на первое выражение: $8^{31} + 3.7^{29}$. - Нам нужно узнать, на какую цифру заканчивается $8^{31}$. Заметим, что последние цифры степеней числа 8 повторяются: 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 6 и так далее. Этот цикл состоит из 4 цифр. Чтобы узнать, какая цифра будет последней в $8^{31}$, разделим 31 на 4. Получится 7 целых и 3 в остатке. Это значит, что последняя цифра $8^{31}$ будет третьей в цикле, то есть 2. - Теперь посмотрим на $7^{29}$. Последние цифры степеней числа 7 тоже повторяются: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1 и так далее. Здесь тоже цикл из 4 цифр. Разделим 29 на 4. Получится 7 целых и 1 в остатке. Значит, последняя цифра $7^{29}$ будет первой в цикле, то есть 7. Но у нас $3 \cdot 7^{29}$, значит, нужно последнюю цифру 7 умножить на 3: $7 \cdot 3 = 21$. Последняя цифра будет 1. - Теперь сложим последние цифры: $2 + 1 = 3$. 2) Теперь давай посмотрим на второе выражение: $6^{223} - 3^{51}$. - У числа 6 любая степень заканчивается на 6. Значит, $6^{223}$ заканчивается на 6. - Последние цифры степеней числа 3 повторяются: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 и так далее. Цикл из 4 цифр. Разделим 51 на 4. Получится 12 целых и 3 в остатке. Значит, последняя цифра $3^{51}$ будет третьей в цикле, то есть 7. - Теперь вычтем последние цифры: $6 - 7 = -1$. Но так как мы ищем последнюю цифру, нужно к 6 прибавить 10 (как будто занимаем десяток): $6 + 10 - 7 = 9$. **Ответ:** 1) $8^{31} + 3 \cdot 7^{29}$ заканчивается на 3. 2) $6^{223} - 3^{51}$ заканчивается на 9.