Помоги мне найти декартовы координаты заданной точки M($\frac{\pi}{6}$)

12.1 a) M($\frac{\pi}{6}$) Чтобы найти декартовы координаты точки M($\frac{\pi}{6}$), нужно вспомнить, что на единичной окружности координата x равна косинусу угла, а координата y - синусу угла. В данном случае, угол равен $\frac{\pi}{6}$ радиан или 30 градусов. Косинус 30 градусов равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а синус 30 градусов равен $\frac{1}{2}$. Следовательно, декартовы координаты точки M($\frac{\pi}{6}$) равны ($\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\frac{1}{2}$). б) M($\frac{\pi}{4}$) Чтобы найти декартовы координаты точки M($\frac{\pi}{4}$), нужно вспомнить, что на единичной окружности координата x равна косинусу угла, а координата y - синусу угла. В данном случае, угол равен $\frac{\pi}{4}$ радиан или 45 градусов. Косинус 45 градусов равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, а синус 45 градусов равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, декартовы координаты точки M($\frac{\pi}{4}$) равны ($\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$). в) M($\frac{\pi}{3}$) Чтобы найти декартовы координаты точки M($\frac{\pi}{3}$), нужно вспомнить, что на единичной окружности координата x равна косинусу угла, а координата y - синусу угла. В данном случае, угол равен $\frac{\pi}{3}$ радиан или 60 градусов. Косинус 60 градусов равен $\frac{1}{2}$, а синус 60 градусов равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, декартовы координаты точки M($\frac{\pi}{3}$) равны ($\frac{1}{2}$; $\frac{\sqrt{3}}{2}$). г) M($\frac{3\pi}{2}$) Чтобы найти декартовы координаты точки M($\frac{3\pi}{2}$), нужно вспомнить, что на единичной окружности координата x равна косинусу угла, а координата y - синусу угла. В данном случае, угол равен $\frac{3\pi}{2}$ радиан или 270 градусов. Косинус 270 градусов равен 0, а синус 270 градусов равен -1. Следовательно, декартовы координаты точки M($\frac{3\pi}{2}$) равны (0; -1). 12.2 a) M(-3$\pi$) Точка -3$\pi$ находится там же, где и точка -$\pi$. Это происходит потому, что полный оборот вокруг окружности составляет 2$\pi$. Так что если мы вычитаем или прибавляем 2$\pi$, мы возвращаемся в ту же самую точку. Для точки -$\pi$ координаты будут (-1, 0). б) M($\frac{11\pi}{4}$) Чтобы найти координаты этой точки, сначала определим, где она находится на единичной окружности. Для этого можно вычесть из $\frac{11\pi}{4}$ несколько раз 2$\pi$, пока не получим угол в пределах от 0 до 2$\pi$: $\frac{11\pi}{4}$ - 2$\pi$ = $\frac{11\pi}{4}$ - $\frac{8\pi}{4}$ = $\frac{3\pi}{4}$. Теперь мы знаем, что точка $\frac{11\pi}{4}$ находится в том же месте, что и точка $\frac{3\pi}{4}$. Эта точка находится во втором квадранте, и её координаты равны (-$\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$). в) M(-$\frac{5\pi}{3}$) Чтобы найти координаты этой точки, сначала определим, где она находится на единичной окружности. Для этого можно прибавить к -$\frac{5\pi}{3}$ несколько раз 2$\pi$, пока не получим угол в пределах от 0 до 2$\pi$: -$\frac{5\pi}{3}$ + 2$\pi$ = -$\frac{5\pi}{3}$ + $\frac{6\pi}{3}$ = $\frac{\pi}{3}$. Теперь мы знаем, что точка -$\frac{5\pi}{3}$ находится в том же месте, что и точка $\frac{\pi}{3}$. Эта точка находится в первом квадранте, и её координаты равны ($\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$). г) M($\frac{31\pi}{2}$) $\frac{31\pi}{2}$ = $\frac{30\pi + \pi}{2}$ = $15\pi + \frac{\pi}{2}$ Поскольку период равен $2\pi$, можно убрать $14\pi$: $15\pi + \frac{\pi}{2}$ = $14\pi + \pi + \frac{\pi}{2}$ = $\pi + \frac{\pi}{2}$ = $\frac{3\pi}{2}$ Точка $\frac{3\pi}{2}$ имеет координаты (0, -1). 12.3 a) M(-$\frac{41\pi}{6}$) Чтобы найти координаты этой точки, сначала определим, где она находится на единичной окружности. Для этого можно прибавить к -$\frac{41\pi}{6}$ несколько раз 2$\pi$, пока не получим угол в пределах от 0 до 2$\pi$: -$\frac{41\pi}{6}$ + 2$\pi$ * 4 = -$\frac{41\pi}{6}$ + $\frac{48\pi}{6}$ = $\frac{7\pi}{6}$. Теперь мы знаем, что точка -$\frac{41\pi}{6}$ находится в том же месте, что и точка $\frac{7\pi}{6}$. Эта точка находится в третьем квадранте, и её координаты равны (-$\frac{\sqrt{3}}{2}$, -$\frac{1}{2}$). б) M(117$\pi$) Поскольку период равен 2$\pi$, можно убрать 116$\pi$: 117$\pi$ = 116$\pi$ + $\pi$ = $\pi$ Точка $\pi$ имеет координаты (-1, 0). в) M(-$\frac{13\pi}{3}$) Чтобы найти координаты этой точки, сначала определим, где она находится на единичной окружности. Для этого можно прибавить к -$\frac{13\pi}{3}$ несколько раз 2$\pi$, пока не получим угол в пределах от 0 до 2$\pi$: $\frac{-13\pi}{3} + 2\pi * 3 = \frac{-13\pi}{3} + \frac{18\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ Теперь мы знаем, что точка -$\frac{13\pi}{3}$ находится в том же месте, что и точка $\frac{5\pi}{3}$. Эта точка находится в четвёртом квадранте, и её координаты равны ($\frac{1}{2}$, -$\frac{\sqrt{3}}{2}$). г) M(126$\pi$) Поскольку период равен 2$\pi$, можно убрать 126$\pi$: 126$\pi$ = 2$\pi$ * 63 = 0 Точка 0 имеет координаты (1, 0).