Реши тригонометрическое уравнение sinx + (cos(x/2) - sin(x/2))(cos(x/2) + sin(x/2)) = 0

Question

Вопрос:

Реши тригонометрическое уравнение sinx + (cos(x/2) - sin(x/2))(cos(x/2) + sin(x/2)) = 0

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение вместе. Оно выглядит немного сложно, но мы сейчас всё упростим. Уравнение из картинки: $\sin x + (\cos{\frac{x}{2}} - \sin{\frac{x}{2}})(\cos{\frac{x}{2}} + \sin{\frac{x}{2}}) = 0$ Сначала упростим выражение с косинусами и синусами. Заметим, что это разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = \cos{\frac{x}{2}}$, а $b = \sin{\frac{x}{2}}$. Тогда уравнение примет вид: $\sin x + (\cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}}) = 0$ Выражение в скобках — это косинус двойного угла, то есть $\cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}} = \cos x$. Теперь наше уравнение выглядит так: $\sin x + \cos x = 0$ Теперь разделим обе части уравнения на $\cos x$ (считаем, что $\cos x \neq 0$). Получим: $\frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0$ А это значит: $\tan x = -1$ Решением этого уравнения будет: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — целое число. **Ответ:** $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Реши тригонометрическое уравнение sinx + (cos(x/2) - sin(x/2))(cos(x/2) + sin(x/2)) = 0

Ответ ассистента

Другие решения