Помоги решить задачи по геометрии на изображении, начиная с восьмой

Конечно, давай разберём задачи по геометрии с картинки! 8. Поскольку сторона $AC$ треугольника $ABC$ содержит центр описанной окружности, это означает, что $AC$ является диаметром этой окружности. Угол $ABC$, опирающийся на диаметр, всегда прямой, то есть $\angle ABC = 90^\circ$. Зная, что $\angle A = 75^\circ$, найдём $\angle C$: $$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 75^\circ - 90^\circ = 15^\circ$$ **Ответ: 15°** 9. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. $\angle ABD = 14^\circ$, $\angle CAD = 30^\circ$. Нужно найти $\angle ABC$. $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$ $\angle DBC = \angle DAC$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $DC$. Значит, $\angle DBC = 30^\circ$. Тогда $\angle ABC = 14^\circ + 30^\circ = 44^\circ$. **Ответ: 44°** 10. К окружности с центром в точке $O$ проведены касательная $AB$ и секущая $AO$. Нужно найти радиус окружности, если $AB = 14$ см, $AO = 50$ см. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Поэтому $\angle OBA = 90^\circ$. Получается прямоугольный треугольник $ABO$. По теореме Пифагора: $$AO^2 = AB^2 + BO^2$$ $$50^2 = 14^2 + BO^2$$ $$2500 = 196 + BO^2$$ $$BO^2 = 2304$$ $$BO = \sqrt{2304} = 48$$ Радиус окружности $BO = 48$ см. **Ответ: 48 см** 11. Прямая касается окружности в точке $K$. Точка $O$ — центр окружности. Хорда $KM$ образует с касательной угол, равный $75^\circ$. Нужно найти величину угла $OMK$. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними. Значит, дуга $KM$ равна $2 \cdot 75^\circ = 150^\circ$. Центральный угол $KOM$, опирающийся на эту же дугу, тоже равен $150^\circ$. Треугольник $KOM$ равнобедренный, так как $OK = OM$ (радиусы). Значит, углы при основании равны: $$\angle OMK = \angle OKM = (180^\circ - 150^\circ) / 2 = 15^\circ$$ **Ответ: 15°** 12. Хорды $AC$ и $BD$ окружности пересекаются в точке $P$. $BP = 7$, $CP = 14$, $DP = 10$. Нужно найти $AP$. По свойству пересекающихся хорд: $$AP \cdot CP = BP \cdot DP$$ $$AP \cdot 14 = 7 \cdot 10$$ $$AP = \frac{70}{14} = 5$$ **Ответ: 5**