Реши задачи по геометрии: 1. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найди градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 115°

Привет! Давай разберёмся с задачами по геометрии. 1. Центральный угол $AOB$ равен $115°$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу, что и центральный угол $AOB$. Значит, градусная мера угла $ACB$ равна половине градусной меры угла $AOB$. $$ACB = \frac{1}{2} AOB = \frac{1}{2} \cdot 115° = 57,5°$$ **Ответ: 57,5°** 2. Угол $AOB$ равен $153°$. Угол $ACB$ – вписанный и опирается на ту же дугу, что и центральный угол $AOB$. Но важно учесть, что точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$, значит, угол $ACB$ равен: $$ACB = \frac{1}{2} AOB = \frac{1}{2} \cdot 153° = 76,5°$$ **Ответ: 76,5°** 3. Вписанный угол $ACB = 24°$. Центральный угол $AOB$ опирается на ту же дугу, что и вписанный угол $ACB$. Тогда: $$AOB = 2 \cdot ACB = 2 \cdot 24° = 48°$$ **Ответ: 48°** 4. Центральный угол $AOB = 72°$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу, что и центральный угол $AOB$. Значит: $$ACB = \frac{1}{2} AOB = \frac{1}{2} \cdot 72° = 36°$$ **Ответ: 36°** 5. Допущение: $NMB$ - вписанный угол, опирающийся на диаметр $AB$, а значит, он прямой и равен $90°$. $NBA = 71°$. Тогда угол $NMB$ можно найти так: \В треугольнике $NMB$: $$NMB = 180° - (NBA + MNB) = 180° - (71° + 90°) = 180° - 161° = 19°$$ **Ответ: 19°** 6. Допущение: $NMB$ - вписанный угол, опирающийся на диаметр $AB$, а значит, он прямой и равен $90°$. $NBA = 34°$. Тогда угол $NMB$ можно найти так: В треугольнике $NMB$: $$NMB = 180° - (NBA + MNB) = 180° - (34° + 90°) = 180° - 124° = 56°$$ **Ответ: 56°** 7. Допущение: Точка $O$ — центр окружности, $ABC = 46°$ и $OAB = 28°$. Нужно найти угол $BCO$. Рассмотрим треугольник $AOB$. Он равнобедренный, так как $OA = OB$ (радиусы окружности). Значит, углы при основании равны: $OBA = OAB = 28°$. Тогда угол $AOB$ равен: $$AOB = 180° - (OAB + OBA) = 180° - (28° + 28°) = 180° - 56° = 124°$$ Угол $AOC$ является центральным и опирается на дугу $AC$. Вписанный угол $ABC$ также опирается на дугу $AC$, значит, угол $AOC$ равен: $$AOC = 2 \cdot ABC = 2 \cdot 46° = 92°$$ Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Он тоже равнобедренный, так как $OB = OC$ (радиусы окружности). Значит, $OBC = OCB$. Угол $BOC$ можно найти как разность углов $AOB$ и $AOC$: $$BOC = AOB - AOC = 124° - 92° = 32°$$ В треугольнике $BOC$: $$OBC + OCB = 180° - BOC = 180° - 32° = 148°$$ Так как $OBC = OCB$, то: $$OCB = \frac{148°}{2} = 74°$$ Теперь найдём угол $BCO$. Мы знаем, что $OCB = 74°$ и $OBA = 28°$. Тогда: $$BCO = OCB - OBA = 74° - 28° = 46°$$ **Ответ: 46°**