Помоги мне найти значение выражения, решить уравнение и решить неравенство.

1. Давай посчитаем значение выражения: $$2 \sin{\frac{\pi}{6}} - \sqrt{3} \sin{\frac{\pi}{3}} \cdot \operatorname{ctg}{\frac{\pi}{4}} - \operatorname{tg}{\frac{\pi}{6}}$$ * Сначала вспомним значения тригонометрических функций: * $\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$ * $\sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ * $\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{4}} = 1$ * $\operatorname{tg}{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ * Подставим эти значения в выражение: $$2 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{6}$$ **Ответ:** $\frac{-3 - 2\sqrt{3}}{6}$ 2a) Решим уравнение $\sqrt{1-x} = x + 1$ * Возведём обе части в квадрат: $$1 - x = (x + 1)^2$$ $$1 - x = x^2 + 2x + 1$$ $$0 = x^2 + 3x$$ $$x(x + 3) = 0$$ Значит, $x = 0$ или $x = -3$. * Проверим корни: * Если $x = 0$, то $\sqrt{1 - 0} = 0 + 1$, то есть $1 = 1$ — верно. * Если $x = -3$, то $\sqrt{1 - (-3)} = -3 + 1$, то есть $\sqrt{4} = -2$, то есть $2 = -2$ — неверно. **Ответ:** $x = 0$ 2б) Решим уравнение $4^x + 2^x - 20 = 0$ * Заметим, что $4^x = (2^x)^2$. Пусть $y = 2^x$, тогда уравнение примет вид: $$y^2 + y - 20 = 0$$ * Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$. Корни: $$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = 4$$ $$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = -5$$ * Вернёмся к замене. Так как $2^x$ всегда больше нуля, то $y = -5$ не подходит. Тогда: $$2^x = 4$$ $$2^x = 2^2$$ $$x = 2$$ **Ответ:** $x = 2$ 2в) Решим уравнение $\log_5(2x - 1) = 2$ * По определению логарифма: $$2x - 1 = 5^2$$ $$2x - 1 = 25$$ $$2x = 26$$ $$x = 13$$ **Ответ:** $x = 13$ 2г) Решим уравнение $\sqrt[3]{x^2 - 17} = 2$ * Возведём обе части в куб: $$x^2 - 17 = 2^3$$ $$x^2 - 17 = 8$$ $$x^2 = 25$$ $$x = \pm 5$$ **Ответ:** $x = 5$ и $x = -5$ 3а) Решим неравенство $9^x - 7 \cdot 3^x - 18 < 0$ * Заметим, что $9^x = (3^x)^2$. Пусть $y = 3^x$, тогда неравенство примет вид: $$y^2 - 7y - 18 < 0$$ * Решим квадратное уравнение $y^2 - 7y - 18 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$. Корни: $$y_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9$$ $$y_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{7 - 11}{2} = -2$$ * Значит, неравенство можно переписать как $(y - 9)(y + 2) < 0$. Решением будет интервал $-2 < y < 9$. * Вернёмся к замене. Так как $3^x$ всегда больше нуля, то $y > 0$. Тогда: $$3^x < 9$$ $$3^x < 3^2$$ $$x < 2$$ **Ответ:** $x < 2$ 3б) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{6}}(10 - x) + \log_{\frac{1}{6}}(x - 3) \ge -1$ * Область определения: $10 - x > 0$ и $x - 3 > 0$, то есть $3 < x < 10$. * Сложим логарифмы: $$\log_{\frac{1}{6}}((10 - x)(x - 3)) \ge -1$$ * По определению логарифма: $$(10 - x)(x - 3) \le (\frac{1}{6})^{-1}$$ $$(10 - x)(x - 3) \le 6$$ $$10x - 30 - x^2 + 3x \le 6$$ $$-x^2 + 13x - 36 \le 0$$ $$x^2 - 13x + 36 \ge 0$$ * Решим квадратное уравнение $x^2 - 13x + 36 = 0$. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$. Корни: $$x_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$$ $$x_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4$$ * Значит, неравенство можно переписать как $(x - 9)(x - 4) \ge 0$. Решением будет $x \le 4$ или $x \ge 9$. * С учётом области определения $3 < x < 10$, получим: $$3 < x \le 4 \quad \text{или} \quad 9 \le x < 10$$ **Ответ:** $3 < x \le 4$ или $9 \le x < 10$