Как решить уравнение $3 cos(2x)+sin(x)²+5sin(x)cos(x)=0$?

Question

Вопрос:

Как решить уравнение $3 cos(2x)+sin(x)²+5sin(x)cos(x)=0$?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Решаем уравнение $3\cos(2x) + \sin^2(x) + 5\sin(x)\cos(x) = 0$. 1. Используем формулу двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$. $$3(\cos^2(x) - \sin^2(x)) + \sin^2(x) + 5\sin(x)\cos(x) = 0$$ 2. Раскрываем скобки: $$3\cos^2(x) - 3\sin^2(x) + \sin^2(x) + 5\sin(x)\cos(x) = 0$$ 3. Приводим подобные слагаемые: $$3\cos^2(x) - 2\sin^2(x) + 5\sin(x)\cos(x) = 0$$ 4. Разделим обе части уравнения на $\cos^2(x)$ (если $\cos(x) \neq 0$): $$3 - 2\tan^2(x) + 5\tan(x) = 0$$ 5. Получаем квадратное уравнение относительно $\tan(x)$: $$2\tan^2(x) - 5\tan(x) - 3 = 0$$ 6. Решаем квадратное уравнение. Пусть $t = \tan(x)$, тогда: $$2t^2 - 5t - 3 = 0$$ Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$. Корни: $t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{4} = \frac{5 + 7}{4} = 3$ и $t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{4} = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$. 7. Возвращаемся к $\tan(x)$: $\tan(x) = 3$ или $\tan(x) = -\frac{1}{2}$. 8. Находим $x$: $x = \arctan(3) + \pi k$ или $x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $x = \arctan(3) + \pi k$, $x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$

Как решить уравнение $3 cos(2x)+sin(x)²+5sin(x)cos(x)=0$?

Ответ ассистента

Другие решения