Помоги мне решить задачи 2.5.7, 2.5.8, 2.5.9 и 2.5.10 про прямоугольный параллелепипед.

2. 5.7. Давай разберемся с этой задачей. Нам дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Известно, что $D_1C_1 = 1$, $BB_1 = 2$, $B_1C_1 = 2$. Нужно найти длину диагонали $C_1A$. Чтобы найти диагональ $C_1A$, можно воспользоваться теоремой Пифагора в трехмерном пространстве. Сначала найдем диагональ основания $AC$. Так как $ABCD$ - прямоугольник, то $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$. У нас $AB = D_1C_1 = 1$, а $BC = B_1C_1 = 2$. Значит, $AC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. Теперь, когда мы знаем $AC$ и $CC_1 = BB_1 = 2$, мы можем найти $C_1A$. $C_1A = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$. **Ответ: $C_1A = 3$** 3. 5.8. Теперь давай решим эту задачу. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Известно, что $CD = 4$, $B_1C_1 = 12$, $DD_1 = 3$. Нужно найти длину диагонали $DB_1$. Сначала найдем диагональ основания $BD$. Так как $ABCD$ - прямоугольник, то $BD = \sqrt{CD^2 + BC^2}$. У нас $CD = 4$, а $BC = B_1C_1 = 12$. Значит, $BD = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160}$. Теперь, когда мы знаем $BD$ и $DD_1 = 3$, мы можем найти $DB_1$. $DB_1 = \sqrt{BD^2 + DD_1^2} = \sqrt{(\sqrt{160})^2 + 3^2} = \sqrt{160 + 9} = \sqrt{169} = 13$. **Ответ: $DB_1 = 13$** 4. 5.9. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AC_1 = \sqrt{14}$, $BB_1 = 1$, $A_1D_1 = 3$. Найдите длину ребра $DC$. Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. В нём $AC_1$ - гипотенуза, а $AC$ и $CC_1$ - катеты. По теореме Пифагора, $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$. Мы знаем, что $AC_1 = \sqrt{14}$ и $BB_1 = CC_1 = 1$. Тогда, $(\sqrt{14})^2 = AC^2 + 1^2$, откуда $14 = AC^2 + 1$, и $AC^2 = 13$, следовательно, $AC = \sqrt{13}$. Теперь рассмотрим прямоугольник $ABCD$. В нём $AC$ - диагональ, а $AD$ и $DC$ - стороны. По теореме Пифагора, $AC^2 = AD^2 + DC^2$. Мы знаем, что $AC = \sqrt{13}$ и $AD = A_1D_1 = 3$. Тогда, $(\sqrt{13})^2 = 3^2 + DC^2$, откуда $13 = 9 + DC^2$, и $DC^2 = 4$, следовательно, $DC = 2$. **Ответ: $DC = 2$** 5. 5.10. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $BD_1 = 3\sqrt{2}$, $C_1D_1 = 4$, $BC = 1$. Найдите длину ребра $DD_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$. В нём $BD_1$ - гипотенуза, а $BD$ и $DD_1$ - катеты. По теореме Пифагора, $BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$. Мы знаем, что $BD_1 = 3\sqrt{2}$. Теперь рассмотрим прямоугольник $ABCD$. В нём $BD$ - диагональ, а $BC$ и $CD$ - стороны. По теореме Пифагора, $BD^2 = BC^2 + CD^2$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - прямоугольный параллелепипед, то $CD = C_1D_1 = 4$ и $BC = 1$. Тогда, $BD^2 = 1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$. Теперь вернемся к треугольнику $BDD_1$. Мы знаем, что $BD_1 = 3\sqrt{2}$, значит, $(3\sqrt{2})^2 = BD^2 + DD_1^2$, или $18 = 17 + DD_1^2$. Отсюда $DD_1^2 = 1$, следовательно, $DD_1 = 1$. **Ответ: $DD_1 = 1$**