Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по порядку. Кажется, нужно найти области определения и значений функций, а также определить, какие из них взаимно однозначные и найти нули.
**5.1. Найдите область определения функции:**
1) $f(x) = \frac{x}{|x|-7}$
Чтобы найти область определения, нужно исключить значения $x$, при которых знаменатель равен нулю. То есть, $|x| - 7 \neq 0$. Это значит, что $|x| \neq 7$, следовательно, $x \neq 7$ и $x \neq -7$.
*Ответ:* Область определения: $x \in (-\infty; -7) \cup (-7; 7) \cup (7; +\infty)$.
2) $f(x) = \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+2}}$
Тут нужно, чтобы и подкоренные выражения были неотрицательными, и знаменатель не равнялся нулю. Значит, $x - 4 \geq 0$ и $x + 2 > 0$. Отсюда $x \geq 4$ и $x > -2$. Учитывая оба условия, получаем $x \geq 4$.
*Ответ:* Область определения: $x \in [4; +\infty)$.
**5.2. Найдите область определения функции:**
1) $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{2}{x+1}$
Здесь нужно, чтобы $x+4 \geq 0$ и $x+1 \neq 0$. Это значит, что $x \geq -4$ и $x \neq -1$.
*Ответ:* Область определения: $x \in [-4; -1) \cup (-1; +\infty)$.
2) $f(x) = \sqrt{8-x} + \frac{4}{x^2-8x}$
Тут надо, чтобы $8-x \geq 0$ и $x^2 - 8x \neq 0$. Это значит, что $x \leq 8$ и $x(x-8) \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 8$.
*Ответ:* Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 8)$.
**5.3. Найдите область значений функции:**
1) $f(x) = 5 - x^2$
Так как $x^2$ всегда неотрицательно, то $-x^2$ всегда неположительно. Значит, $5 - x^2$ всегда меньше или равно 5. При $x = 0$, функция равна 5.
*Ответ:* Область значений: $y \in (-\infty; 5]$.
2) $f(x) = |x + 2| + 2$
Модуль всегда неотрицателен, поэтому $|x + 2| \geq 0$. Значит, $|x + 2| + 2 \geq 2$.
*Ответ:* Область значений: $y \in [2; +\infty)$.
3) $f(x) = \sqrt{-x}$
Квадратный корень всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{-x} \geq 0$. Получается, что функция принимает все неотрицательные значения.
*Ответ:* Область значений: $y \in [0; +\infty)$.
**5.4. Найдите область значений функции:**
1) $f(x) = x^2 + 3$
Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \geq 0$. Значит, $x^2 + 3 \geq 3$.
*Ответ:* Область значений: $y \in [3; +\infty)$.
2) $f(x) = 6 - \sqrt{x}$
Квадратный корень всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{x} \geq 0$. Значит, $-\sqrt{x} \leq 0$, и $6 - \sqrt{x} \leq 6$.
*Ответ:* Область значений: $y \in (-\infty; 6]$.
3) $f(x) = (\sqrt{x})^2$
$(\sqrt{x})^2 = x$, но при этом $x \geq 0$, так как корень определён только для неотрицательных чисел.
*Ответ:* Область значений: $y \in [0; +\infty)$.
**5.5. Какая из функций является взаимно однозначным отображением множества $D(y)$ на множество $E(y)$:**
Функция является взаимно однозначной, если каждое значение $y$ соответствует только одному значению $x$.
1) $y = 2x + 1$ — это линейная функция, и она взаимно однозначная.
2) $y = |x|$ — это функция модуля, и она не взаимно однозначная, так как одному значению $y$ соответствуют два значения $x$ (например, $y = 2$ при $x = 2$ и $x = -2$).
3) $y = \sqrt{x}$ — это функция квадратного корня, и она взаимно однозначная.
4) $y = \{x\}$ - тут явно опечатка, так как D(x) - область определения, а не функция, по-этому на этот вопрос ответить не могу
5) $y = \{D(x)\}$ - тут тоже явно опечатка, так как D(x) - область определения, а не функция, по-этому на этот вопрос ответить не могу
*Ответ:* Функции 1) $y = 2x + 1$ и 3) $y = \sqrt{x}$ являются взаимно однозначными.
**5.6. Найдите нули функции:**
Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$.
1) $y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$
Нужно, чтобы $\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1} = 0$. Это произойдет, если хотя бы один из корней равен нулю. То есть, $x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$. Получаем $x = 1$ или $x = -1$. Но нужно учесть, что корни определены только при $x \geq 1$ и $x \geq -1$. Поэтому $x = 1$ подходит, а $x = -1$ нет.
*Ответ:* $x = 1$.
2) $y = x\sqrt{x - 1}$
Нужно, чтобы $x\sqrt{x - 1} = 0$. Это произойдет, если $x = 0$ или $\sqrt{x - 1} = 0$. То есть, $x = 0$ или $x = 1$. Но нужно учесть, что корень определен только при $x \geq 1$. Поэтому $x = 1$ подходит, а $x = 0$ нет.
*Ответ:* $x = 1$.
3) $y = |x| - x$
Нужно, чтобы $|x| - x = 0$, то есть $|x| = x$. Это верно для всех $x \geq 0$.
*Ответ:* $x \in [0; +\infty)$.
