Реши примеры на упрощение выражений со степенями: 7^5 * (7^2)^4 : 7^11

a) Давай упростим выражение $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$. Сначала раскроем скобки: $(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$. Теперь у нас есть: $7^5 \cdot 7^8 : 7^{11}$. Умножение степеней с одинаковым основанием: $7^{5+8} : 7^{11} = 7^{13} : 7^{11}$. Деление степеней с одинаковым основанием: $7^{13-11} = 7^2 = 49$. г) Решим пример $10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14}$. Преобразуем выражение: $(5^{-2})^{13} = 5^{-2 \cdot 13} = 5^{-26}$. $25^{14} = (5^2)^{14} = 5^{2 \cdot 14} = 5^{28}$. Теперь у нас есть: $10 : 5^{-26} : 5^{28}$. Чтобы было проще, представим 10 как произведение 2 и 5: $10 = 2 \cdot 5$. Тогда выражение выглядит так: $2 \cdot 5 : 5^{-26} : 5^{28}$. Деление степеней с одинаковым основанием можно заменить умножением на обратную степень: $2 \cdot 5 \cdot 5^{26} : 5^{28} = 2 \cdot 5^{1+26} : 5^{28} = 2 \cdot 5^{27} : 5^{28}$. $2 \cdot 5^{27-28} = 2 \cdot 5^{-1} = \frac{2}{5} = 0,4$. б) Решим пример $11^{-4} : 11^{13} : 11^{17}$. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $11^{-4-13} : 11^{17} = 11^{-17} : 11^{17}$. $11^{-17-17} = 11^{-34}$. в) Решим пример $5^9 : 5^{-12} : 5^{20}$. При делении показатели степеней вычитаются: $5^{9 - (-12)} : 5^{20} = 5^{9+12} : 5^{20} = 5^{21} : 5^{20}$. $5^{21-20} = 5^1 = 5$. д) Решим пример $\frac{15^5}{12^5} : \frac{3^3 \cdot 5^4}{3^6 \cdot 4^6}$. Сначала упростим каждую дробь по отдельности. Первая дробь: $\frac{15^5}{12^5} = \frac{(3 \cdot 5)^5}{(3 \cdot 4)^5} = \frac{3^5 \cdot 5^5}{3^5 \cdot 4^5} = \frac{5^5}{4^5}$. Вторая дробь: $\frac{3^3 \cdot 5^4}{3^6 \cdot 4^6} = \frac{5^4}{3^{6-3} \cdot 4^6} = \frac{5^4}{3^3 \cdot 4^6}$. Теперь делим первую дробь на вторую: $\frac{5^5}{4^5} : \frac{5^4}{3^3 \cdot 4^6} = \frac{5^5}{4^5} \cdot \frac{3^3 \cdot 4^6}{5^4} = 5^{5-4} \cdot 3^3 \cdot 4^{6-5} = 5 \cdot 3^3 \cdot 4 = 5 \cdot 27 \cdot 4 = 5 \cdot 108 = 540$. е) Решим пример $\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} : \frac{17^6 \cdot 8^3}{34^7}$. Сначала упростим каждую дробь по отдельности. Первая дробь: $\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} = \frac{(2 \cdot 5)^{10}}{2^8 \cdot 5^9} = \frac{2^{10} \cdot 5^{10}}{2^8 \cdot 5^9} = 2^{10-8} \cdot 5^{10-9} = 2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$. Вторая дробь: $\frac{17^6 \cdot 8^3}{34^7} = \frac{17^6 \cdot (2^3)^3}{(2 \cdot 17)^7} = \frac{17^6 \cdot 2^9}{2^7 \cdot 17^7} = \frac{2^{9-7}}{17^{7-6}} = \frac{2^2}{17} = \frac{4}{17}$. Теперь делим первую дробь на вторую: $20 : \frac{4}{17} = 20 \cdot \frac{17}{4} = 5 \cdot 17 = 85$. **Ответы:** a) 49 б) $11^{-34}$ в) 5 г) 0,4 д) 540 е) 85