Ты просишь решить задачи: найти геометрическую прогрессию, упростить выражение, указать уравнение с двумя корнями, найти угол, найти периметр треугольника и найти площадь треугольника.

6. Чтобы определить, какая из последовательностей является геометрической прогрессией, нужно проверить, что отношение каждого следующего члена к предыдущему постоянно. * 1) $5; \sqrt{5}; 1; ...$ Проверим: $\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Отношение постоянно, значит, это геометрическая прогрессия. **Ответ: 1** 7. Упростим выражение $\left(a-\frac{1}{a}\right) \cdot \frac{1}{a-1}$: $$\left(a-\frac{1}{a}\right) \cdot \frac{1}{a-1} = \frac{a^2-1}{a} \cdot \frac{1}{a-1} = \frac{(a-1)(a+1)}{a} \cdot \frac{1}{a-1} = \frac{a+1}{a}$$ **Ответ: $\frac{a+1}{a}$** 8. Чтобы уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть больше нуля. Дискриминант находится по формуле $D = b^2 - 4ac$. * 1) $3x^2 + 5x + 2 = 0$. $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 > 0$. Подходит. * 2) $4x^2 - 4x + 1 = 0$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$. Не подходит (один корень). * 3) $5x^2 - 6x + 4 = 0$. $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 36 - 80 = -44 < 0$. Не подходит (нет корней). * 4) $4x^2 - 4x + 5 = 0$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 16 - 80 = -64 < 0$. Не подходит (нет корней). **Ответ: 1** 9. **Допущение:** Трапеция равнобедренная, значит углы при основании равны. Пусть угол $A = x$, тогда угол $C = 4x$. В равнобедренной трапеции углы при боковой стороне в сумме дают 180 градусов. Значит, $x + 4x = 180$, откуда $5x = 180$, и $x = 36$. Угол $A = 36$ градусов. Угол $B$ равен углу $C$, так как трапеция равнобедренная. Угол $C = 4 \cdot 36 = 144$ градуса. **Ответ: 144** 10. **Допущение:** Треугольник $BOM$ прямоугольный. $AB$ - диаметр, значит, центр окружности $O$ - середина $AB$. Если $AM = 5$ и $BM = 12$, то по теореме Пифагора $AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. Значит, $BO = \frac{1}{2} AB = \frac{13}{2} = 6.5$. $OM = \frac{1}{2} AB = 6.5$ (радиус). Периметр треугольника $BOM$ равен $BO + OM + BM = 6.5 + 6.5 + 12 = 25$. **Ответ: 25** 11. **Допущение:** Треугольник прямоугольный и равнобедренный, так как угол C прямой, а катет BC = CA. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Поскольку треугольник равнобедренный, то $BC = CA$. По теореме Пифагора, $AB^2 = BC^2 + CA^2$, $AB = 2\sqrt{2}$. Значит, $(2\sqrt{2})^2 = BC^2 + BC^2$, $8 = 2 \cdot BC^2$, $BC^2 = 4$, $BC = 2$. Тогда площадь $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CA = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$. **Ответ: 2**