Ты просишь решить несколько задач по математике: определить, какая из последовательностей является геометрической прогрессией, упростить выражение (a-1/a) * 1/(a-1), указать уравнение, которое имеет два различных корня (3x²+5x+2=0, 4x2-4x+1=0, 5x2-6x+4=0, 4x²-4x+5=0), найти угол B в равнобедренной трапеции, найти периметр треугольника и площадь прямоугольного треугольника.

6. Чтобы определить, какая из последовательностей является геометрической прогрессией, нужно проверить, является ли отношение каждого следующего члена к предыдущему постоянным. * В первом варианте: $\frac{\sqrt{5}}{5} \neq \frac{1}{\sqrt{5}}$, значит, это не геометрическая прогрессия. * Во втором варианте: $\frac{2}{1} \neq \frac{3}{2}$, это не геометрическая прогрессия. * В третьем варианте: $\frac{4}{2} \neq \frac{10}{4}$, это не геометрическая прогрессия. * В четвёртом варианте: $\frac{4}{1} \neq \frac{9}{4}$, это не геометрическая прогрессия. **Ответ: Ни одна из предложенных последовательностей не является геометрической прогрессией.** 7. Упростим выражение: $\left(a-\frac{1}{a}\right) \cdot \frac{1}{a-1} = \frac{a^2-1}{a} \cdot \frac{1}{a-1} = \frac{(a-1)(a+1)}{a(a-1)} = \frac{a+1}{a}$ **Ответ: $\frac{a+1}{a}$** 8. Укажите уравнение, которое имеет два различных корня. Для того чтобы уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть больше нуля. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. 1) $3x^2 + 5x + 2 = 0$ $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 > 0$. Подходит. 2) $4x^2 - 4x + 1 = 0$ $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$. Не подходит. 3) $5x^2 - 6x + 4 = 0$ $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 36 - 80 = -44 < 0$. Не подходит. 4) $4x^2 - 4x + 5 = 0$ $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 16 - 80 = -64 < 0$. Не подходит. **Правильный ответ: 1** 9. Допущение: Трапеция $ABCD$ - равнобедренная, следовательно, углы при основании равны. Угол $C$ в 4 раза больше угла $A$. Нужно найти угол $B$ в градусах. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, то есть $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$. Также, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Так как $\angle C = 4 \angle A$ и $\angle B = \angle C$, то $\angle B = 4 \angle A$. Подставим это в уравнение $\angle A + \angle B = 180^\circ$: $\angle A + 4 \angle A = 180^\circ$ $5 \angle A = 180^\circ$ $\angle A = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$ Теперь найдём угол $B$: $\angle B = 4 \angle A = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$ **Ответ: 144** 10. $AB$ - диаметр окружности с центром $O$, $M$ - точка на окружности. Надо найти периметр треугольника $BOM$, если известно, что $AM = 5$, $BM = 12$. Треугольник $AMB$ опирается на диаметр, значит, он прямоугольный с прямым углом $M$. По теореме Пифагора найдём $AB$: $AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ Так как $O$ - центр окружности, то $BO = AO = \frac{1}{2} AB = \frac{13}{2} = 6.5$. $OM$ тоже радиус, значит, $OM = 6.5$. Периметр треугольника $BOM$ равен: $P = BO + OM + BM = 6.5 + 6.5 + 12 = 25$ **Ответ: 25** 11. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке. Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения его катетов. Один катет равен $2\sqrt{2}$. Допущение: Треугольник является прямоугольным и равнобедренным, значит, второй катет тоже равен $2\sqrt{2}$. $$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$$ **Ответ: 4**