Ты просишь доказать, что первый квадратный трехчлен x² – 6x + 11 не принимает отрицательных значений, а второй -x² + 6x - 11 положительных, и найти, при каком значении x трехчлен 2x² - 4x + 6 принимает наименьшее значение.

Задание 67: 1. Рассмотрим первый трехчлен $x^2 - 6x + 11$. Чтобы доказать, что он не принимает отрицательных значений, нужно показать, что его минимальное значение больше или равно нулю. Найдем вершину параболы, которая соответствует этому трехчлену. Координата $x$ вершины параболы $ax^2 + bx + c$ равна $-\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = 1$ и $b = -6$, поэтому $x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$. 2. Подставим $x_в = 3$ в трехчлен: $3^2 - 6 \cdot 3 + 11 = 9 - 18 + 11 = 2$. Так как минимальное значение равно 2, что больше нуля, то первый трехчлен не принимает отрицательных значений. 3. Теперь рассмотрим второй трехчлен $-x^2 + 6x - 11$. Чтобы доказать, что он не принимает положительных значений, нужно показать, что его максимальное значение меньше или равно нулю. Найдем вершину параболы. В нашем случае $a = -1$ и $b = 6$, поэтому $x_в = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$. 4. Подставим $x_в = 3$ в трехчлен: $-(3)^2 + 6 \cdot 3 - 11 = -9 + 18 - 11 = -2$. Так как максимальное значение равно -2, что меньше нуля, то второй трехчлен не принимает положительных значений. Задание 68: Чтобы найти наименьшее значение квадратного трехчлена $2x^2 - 4x + 6$, нужно найти вершину параболы. Координата $x$ вершины параболы $ax^2 + bx + c$ равна $-\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = 2$ и $b = -4$, поэтому $x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$. Теперь найдем значение трехчлена при $x = 1$: $$2(1)^2 - 4(1) + 6 = 2 - 4 + 6 = 4$$ **Ответ:** Наименьшее значение трехчлен $2x^2 - 4x + 6$ принимает при $x = 1$, и это наименьшее значение равно 4.