Реши уравнения: 1) sin 3x = 1

Конечно, давай решим эти уравнения! Все они выглядят как $\sin(чего-то) = число$. Чтобы их решить, нам понадобятся знания о значениях синуса в разных точках. 1) $\sin 3x = 1$ $\sin t = 1$ при $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - целое число. Значит, $3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Делим обе части на 3: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$. 2) $\sin 2x = -1$ $\sin t = -1$ при $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Значит, $2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Делим на 2: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$. 3) $\sqrt{2} \sin \frac{x}{3} = -1$ Делим на $\sqrt{2}$: $\sin \frac{x}{3} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ при $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $t = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. Значит, $\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $\frac{x}{3} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. Умножаем на 3: $x = -\frac{3\pi}{4} + 6\pi k$ или $x = -\frac{9\pi}{4} + 6\pi k$. 4) $2 \sin \frac{x}{2} = \sqrt{3}$ Делим на 2: $\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. Значит, $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. Умножаем на 2: $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$ или $x = \frac{4\pi}{3} + 4\pi k$. 5) $\sin (x + \frac{3\pi}{4}) = 0$ $\sin t = 0$ при $t = \pi k$. Значит, $x + \frac{3\pi}{4} = \pi k$. Вычитаем $\frac{3\pi}{4}$: $x = -\frac{3\pi}{4} + \pi k$. 6) $\sin (2x + \frac{\pi}{2}) = 0$ $\sin t = 0$ при $t = \pi k$. Значит, $2x + \frac{\pi}{2} = \pi k$. Вычитаем $\frac{\pi}{2}$: $2x = -\frac{\pi}{2} + \pi k$. Делим на 2: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.