Реши задачи 744-752 по геометрии из учебника

744. Векторными величинами являются: скорость, сила. 745. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 3$ см, $BC = 4$ см. $M$ – середина стороны $AB$. $DC = AB = 3$ cм (противоположные стороны прямоугольника равны). $MC = \sqrt{BC^2 + BM^2} = \sqrt{4^2 + (3/2)^2} = \sqrt{16 + 9/4} = \sqrt{73/4} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ (по теореме Пифагора для треугольника $MBC$). $MA = AB/2 = 3/2 = 1,5$ cм (так как $M$ - середина $AB$). $CB = -BC$, значит длина $CB = 4$ cм. $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ cм (по теореме Пифагора для треугольника $ABC$). 746. В прямоугольной трапеции $ABCD$ основание $AD = 12$ см, $AB = 5$ см, угол $D = 45$ градусам. Проведём высоту $CH$ к основанию $AD$. Тогда $AH = AB = 5$ cм. $HD = AD - AH = 12 - 5 = 7$ cм. В прямоугольном треугольнике $CHD$ угол $CDH = 45$ градусов, значит, $CH = HD = 7$ cм (так как углы при основании равны). $CD = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ (по теореме Пифагора для треугольника $CHD$). $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos(A)} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ (по теореме Пифагора для треугольника $ABD$). $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}$ 747. a) В параллелограмме $MNPQ$ коллинеарны пары векторов: $MN$ и $QP$, $MQ$ и $PN$. б) В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ коллинеарны пары векторов: $AD$ и $BC$. в) В треугольнике $FGH$ коллинеарных векторов нет. 748. а) В параллелограмме $ABCD$ векторы $AB$ и $DC$ равны, так как они сонаправлены и имеют равные длины. б) Векторы $BC$ и $DA$ не равны, так как они противоположно направлены. в) Векторы $AO$ и $OC$ равны, так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, и векторы сонаправлены. г) Векторы $AC$ и $BD$ не равны, так как у них разные длины и разные направления. 749. а) В равнобедренной трапеции $MNLK$ векторы $NL$ и $KL$ не равны, так как у них разные направления. б) Векторы $MS$ и $SN$ не равны, так как у них разные длины и разные направления. в) Векторы $MN$ и $KL$ не равны, так как у них разные направления. г) Векторы $TS$ и $KM$ не равны, так как у них разные длины и разные направления. д) Векторы $TL$ и $KT$ не равны, так как у них разные направления. 750. Дано: векторы $AB$ и $CD$ равны. Доказать: середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают. Доказательство: Пусть $K$ - середина отрезка $AD$, а $L$ - середина отрезка $BC$. Тогда $AK = KD$ и $BL = LC$. Так как $AB = CD$, то $AB + BK = CD + DL$. Следовательно, $AK = KD = BL = LC$, значит, точки $K$ и $L$ совпадают. 751. а) Если $AB = DC$ и $|AB| = |BC|$, то $ABCD$ - параллелограмм, у которого смежные стороны равны, значит, $ABCD$ - ромб. б) Если $AB || DC$, а векторы $AD$ и $BC$ не коллинеарны, то $ABCD$ - трапеция. 752. а) Если $\vec{a} = \vec{b}$, то $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ - верно, так как равные векторы всегда сонаправлены. б) Если $\vec{a} = -\vec{b}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$ - верно, так как противоположные векторы всегда противоположно направлены. в) Если $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, то $\vec{a} = \vec{b}$ - неверно, так как сонаправленные векторы могут иметь разные длины. г) Если $\vec{a} = 0$, то $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ - неверно, так как нулевой вектор не имеет направления.