Ты просишь меня решить неравенство (2x² - 6x) / (x - 4) ≤ x и сделать числовую прямую

Привет! Давай решим это неравенство вместе и построим числовую прямую, чтобы было понятнее. Неравенство, которое нам нужно решить: $$\frac{2x^2 - 6x}{x - 4} \le x$$ 1. Перенесем $x$ в левую часть, чтобы справа остался ноль: $$\frac{2x^2 - 6x}{x - 4} - x \le 0$$ 2. Приведем к общему знаменателю: $$\frac{2x^2 - 6x - x(x - 4)}{x - 4} \le 0$$ 3. Раскроем скобки и упростим: $$\frac{2x^2 - 6x - x^2 + 4x}{x - 4} \le 0$$ $$\frac{x^2 - 2x}{x - 4} \le 0$$ 4. Вынесем $x$ за скобки в числителе: $$\frac{x(x - 2)}{x - 4} \le 0$$ 5. Найдем нули числителя и знаменателя: - $x = 0$ - $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ - $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ (знаменатель не может быть равен нулю) 6. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале: ``` ----(0)----(2)----(4)----> ``` Определяем знаки на интервалах: - $x < 0$: Например, $x = -1$. Тогда $\frac{(-1)(-1 - 2)}{-1 - 4} = \frac{(-1)(-3)}{-5} = \frac{3}{-5} < 0$ (минус) - $0 < x < 2$: Например, $x = 1$. Тогда $\frac{1(1 - 2)}{1 - 4} = \frac{1(-1)}{-3} = \frac{-1}{-3} > 0$ (плюс) - $2 < x < 4$: Например, $x = 3$. Тогда $\frac{3(3 - 2)}{3 - 4} = \frac{3(1)}{-1} = -3 < 0$ (минус) - $x > 4$: Например, $x = 5$. Тогда $\frac{5(5 - 2)}{5 - 4} = \frac{5(3)}{1} = 15 > 0$ (плюс) 7. Выберем интервалы, где выражение меньше или равно нулю (с учетом, что $x \neq 4$): - $x \le 0$ - $2 \le x < 4$ **Ответ:** $x \in (-\infty; 0] \cup [2; 4)$