Определи, верно ли утверждение: наибольшее значение дроби 18/(4x²+9+ y² + 4xy) равно 1

Question

Вопрос:

Определи, верно ли утверждение: наибольшее значение дроби 18/(4x²+9+ y² + 4xy) равно 1

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для начала упростим выражение в знаменателе дроби. Заметим, что $4x^2 + 4xy + y^2$ можно представить как $(2x+y)^2$. Тогда знаменатель будет выглядеть так: $(2x+y)^2 + 9$. а) Чтобы дробь $\frac{18}{4x^2+9+y^2+4xy}$ имела наибольшее значение, знаменатель должен быть наименьшим. Так как $(2x+y)^2$ всегда неотрицательно (то есть больше или равно нулю), наименьшее значение $(2x+y)^2$ равно 0. Это достигается, когда $2x+y = 0$. В этом случае знаменатель равен $0 + 9 = 9$, и дробь равна $\frac{18}{9} = 2$. Значит, утверждение, что наибольшее значение дроби равно 1, неверно. б) Как мы уже выяснили, наибольшее значение дроби достигается, когда знаменатель минимален, то есть равен 9. В этом случае дробь равна 2. Значит, утверждение, что наибольшее значение дроби равно 2, верно. в) Чтобы дробь $\frac{18}{4x^2+9+y^2+4xy}$ имела наименьшее значение, знаменатель должен быть наибольшим. Так как $(2x+y)^2$ всегда неотрицательно, то при увеличении $(2x+y)^2$ знаменатель тоже увеличивается, а дробь уменьшается. Теоретически, $(2x+y)^2$ может быть сколь угодно большим, и тогда дробь будет сколь угодно близка к нулю, но никогда не достигнет его. Значит, наименьшего значения у дроби не существует. Утверждение, что наименьшее значение дроби равно 2, неверно.

Определи, верно ли утверждение: наибольшее значение дроби 18/(4x²+9+ y² + 4xy) равно 1

Ответ ассистента

Другие решения