Реши уравнение x⁴ + x³ - 4x² - 2x + 4 = 0

Конечно, давай решим это уравнение вместе! Уравнение, которое нам нужно решить, выглядит так: $x^4 + x^3 - 4x^2 - 2x + 4 = 0$. Это уравнение четвёртой степени, и решить его напрямую может быть сложно. Но можно попробовать сгруппировать члены и посмотреть, что получится: $(x^4 + x^3) - (4x^2 + 2x - 4) = 0$ К сожалению, такая группировка не приводит к упрощению. Попробуем другой подход: поищем рациональные корни уравнения, используя теорему о рациональных корнях. Эта теорема говорит, что если у многочлена есть рациональные корни (то есть корни, которые можно представить в виде дроби), то они являются делителями свободного члена (в нашем случае это 4). Делители числа 4: $\pm1, \pm2, \pm4$. Подставим эти значения в уравнение и проверим, являются ли они корнями: 1. $x = 1$: $1^4 + 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 4 = 1 + 1 - 4 - 2 + 4 = 0$. Значит, $x = 1$ — корень уравнения. 2. $x = -1$: $(-1)^4 + (-1)^3 - 4 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 4 = 1 - 1 - 4 + 2 + 4 = 2$. Значит, $x = -1$ не является корнем уравнения. 3. $x = 2$: $2^4 + 2^3 - 4 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 4 = 16 + 8 - 16 - 4 + 4 = 8$. Значит, $x = 2$ не является корнем уравнения. 4. $x = -2$: $(-2)^4 + (-2)^3 - 4 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 4 = 16 - 8 - 16 + 4 + 4 = 0$. Значит, $x = -2$ — корень уравнения. Теперь мы знаем два корня уравнения: $x = 1$ и $x = -2$. Это значит, что многочлен можно разделить на $(x - 1)$ и $(x + 2)$. Разделим многочлен $x^4 + x^3 - 4x^2 - 2x + 4$ на $(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$. После деления получим $x^2 + 1$. Значит, исходное уравнение можно представить как: $(x - 1)(x + 2)(x^2 + 2) = 0$ Теперь найдём корни уравнения $x^2 + 2 = 0$: $x^2 = -2$ $x = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$ Здесь $i$ — это мнимая единица ($i^2 = -1$). Итак, мы нашли все корни уравнения: * $x_1 = 1$ * $x_2 = -2$ * $x_3 = i\sqrt{2}$ * $x_4 = -i\sqrt{2}$ **Ответ: Корни уравнения: $1, -2, i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}$**