Ты просишь меня сократить дроби и решить уравнения: a) (x²+6x+5) / (5x²+6x+1) и а) x/(2+3x) - 5/(3x-2) = (15x+10) / (4-9x²)

Конечно, давай решим! а) Сократить дробь $\frac{x^2+6x+5}{5x^2+6x+1}$. Чтобы сократить дробь, нужно разложить числитель и знаменатель на множители, а потом посмотреть, что можно сократить. 1. Разложим числитель $x^2+6x+5$. Нужно найти два числа, которые в сумме дают 6, а в произведении 5. Это числа 1 и 5. Значит, $x^2+6x+5 = (x+1)(x+5)$. 2. Разложим знаменатель $5x^2+6x+1$. Тут немного сложнее. Можно попробовать так: $5x^2+6x+1 = (5x+1)(x+1)$. 3. Теперь запишем дробь с новыми множителями: $\frac{(x+1)(x+5)}{(5x+1)(x+1)}$. 4. Видим, что $(x+1)$ есть и в числителе, и в знаменателе. Сокращаем! Получается: $\frac{x+5}{5x+1}$. **Ответ: $\frac{x+5}{5x+1}$** б) Сократить дробь $\frac{6x^2-7x-3}{2x^2-x-3}$. 1. Разложим числитель $6x^2-7x-3$ на множители. Здесь будет $(2x-3)(3x+1)$. 2. Разложим знаменатель $2x^2-x-3$ на множители. Здесь будет $(x+1)(2x-3)$. 3. Запишем дробь с новыми множителями: $\frac{(2x-3)(3x+1)}{(x+1)(2x-3)}$. 4. Видим, что $(2x-3)$ есть и в числителе, и в знаменателе. Сокращаем! Получается: $\frac{3x+1}{x+1}$. **Ответ: $\frac{3x+1}{x+1}$** а) Решить уравнение $\frac{x}{2+3x} - \frac{5}{3x-2} = \frac{15x+10}{4-9x^2}$. Чтобы решить это уравнение, нужно привести все дроби к общему знаменателю и упростить выражение. 1. Заметим, что $4-9x^2$ можно представить как $(2-3x)(2+3x)$. Тогда приведём все дроби к знаменателю $(2+3x)(2-3x)$. 2. $\frac{x(2-3x)}{(2+3x)(2-3x)} - \frac{5(-1)(2+3x)}{(3x-2)(-1)(2+3x)} = \frac{-1(15x+10)}{-1(4-9x^2)}$ $\frac{x(2-3x)}{(2+3x)(2-3x)} + \frac{5(2+3x)}{(3x-2)(2+3x)} = \frac{-(15x+10)}{(9x^2-4)}$ $\frac{2x-3x^2 + 10 + 15x}{(2+3x)(2-3x)} = \frac{-(15x+10)}{9x^2-4}$ $\frac{-3x^2 + 17x + 10}{4-9x^2} = \frac{-(15x+10)}{9x^2-4}$ 3. $-3x^2 + 17x + 10 = 15x+10$ 4. $-3x^2 + 2x = 0$\Rightarrow $x(-3x+2) = 0$. 5. Получаем два возможных решения: $x = 0$ или $-3x+2=0$, то есть $x = \frac{2}{3}$. **Ответ: $x = 0, x = \frac{2}{3}$** б) Решить уравнение $\frac{3}{x^2-2x+1} + \frac{2}{1-x^2} = \frac{1}{1+x}$. 1. Преобразуем знаменатели: $x^2-2x+1 = (x-1)^2$ и $1-x^2 = (1-x)(1+x)$. 2. Запишем уравнение с новыми знаменателями: $\frac{3}{(x-1)^2} + \frac{2}{(1-x)(1+x)} = \frac{1}{1+x}$. 3. Домножим вторую дробь на $-1$ и знаменатель будет иметь вид $(x-1)(x+1)$. Общий знаменатель $(x-1)^2(x+1)$. 4. Приведём дроби к общему знаменателю: $\frac{3(x+1)}{(x-1)^2(x+1)} + \frac{-2(x-1)}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{(x-1)^2}{(x-1)^2(1+x)}$ 5. Приравняем числители: $3(x+1) - 2(x-1) = (x-1)^2$ 6. Раскроем скобки и упростим: $3x+3 - 2x+2 = x^2-2x+1$ 7. Перенесём всё в одну сторону: $x^2 - 3x - 4 = 0$ 8. Решим квадратное уравнение. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. 9. Проверим корни. $x = -1$ не подходит, так как знаменатель $(1+x)$ обращается в ноль. Значит, остаётся только $x = 4$. **Ответ: $x = 4$**