Можешь вычислить скалярное произведение векторов AD и B1C1 в кубе?

Привет! Давай разберёмся с задачей про куб и векторы. Нужно вычислить скалярное произведение векторов в разных случаях. Скалярное произведение показывает, насколько векторы сонаправлены. Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. а) Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{B_1C_1}$: Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - куб, то $AD = BC = B_1C_1$. Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{B_1C_1}$ сонаправлены и равны по длине, поэтому их скалярное произведение равно квадрату длины ребра куба: $$\vec{AD} \cdot \vec{B_1C_1} = |AD| \cdot |B_1C_1| = a \cdot a = a^2$$ б) Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{C_1A_1}$: Диагонали квадратов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. $\vec{AC}$ и $\vec{C_1A_1}$ сонаправлены, но направлены в противоположные стороны. Длина каждой диагонали равна $a\sqrt{2}$. $$\vec{AC} \cdot \vec{C_1A_1} = -|AC| \cdot |C_1A_1| = -(a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2}) = -2a^2$$ в) Векторы $\vec{D_1B}$ и $\vec{AC}$: Пусть начало координат в точке $A$, ось $x$ вдоль $AB$, ось $y$ вдоль $AD$, ось $z$ вдоль $AA_1$. Тогда координаты точек: $D_1(0, a, a)$, $B(a, 0, 0)$, $A(0, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$. Вектор $\vec{D_1B} = (a - 0, 0 - a, 0 - a) = (a, -a, -a)$. Вектор $\vec{AC} = (a - 0, a - 0, 0 - 0) = (a, a, 0)$. Скалярное произведение: $$\vec{D_1B} \cdot \vec{AC} = a \cdot a + (-a) \cdot a + (-a) \cdot 0 = a^2 - a^2 + 0 = 0$$ г) Векторы $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC_1}$: Координаты точек: $B(a, 0, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $C_1(a, a, a)$. Вектор $\vec{BA_1} = (0 - a, 0 - 0, a - 0) = (-a, 0, a)$. Вектор $\vec{BC_1} = (a - a, a - 0, a - 0) = (0, a, a)$. Скалярное произведение: $$\vec{BA_1} \cdot \vec{BC_1} = (-a) \cdot 0 + 0 \cdot a + a \cdot a = 0 + 0 + a^2 = a^2$$ д) Векторы $\vec{AO_1}$ и $\vec{AC_1}$: $O_1$ - центр грани $A_1B_1C_1D_1$, значит, координаты $O_1(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a)$. Вектор $\vec{AO_1} = (\frac{a}{2} - 0, \frac{a}{2} - 0, a - 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a)$. Вектор $\vec{AC_1} = (a - 0, a - 0, a - 0) = (a, a, a)$. Скалярное произведение: $$\vec{AO_1} \cdot \vec{AC_1} = \frac{a}{2} \cdot a + \frac{a}{2} \cdot a + a \cdot a = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + a^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$ е) Векторы $\vec{D_1O_1}$ и $\vec{B_1O_1}$: Координаты $D_1(0, a, a)$, $B_1(a, 0, a)$, $O_1(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a)$. Вектор $\vec{D_1O_1} = (\frac{a}{2} - 0, \frac{a}{2} - a, a - a) = (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$. Вектор $\vec{B_1O_1} = (\frac{a}{2} - a, \frac{a}{2} - 0, a - a) = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$. Скалярное произведение: $$\vec{D_1O_1} \cdot \vec{B_1O_1} = \frac{a}{2} \cdot (-\frac{a}{2}) + (-\frac{a}{2}) \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot 0 = -\frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = -\frac{a^2}{2}$$ ж) Векторы $\vec{BO_1}$ и $\vec{C_1B}$: Координаты $B(a, 0, 0)$, $O_1(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a)$, $C_1(a, a, a)$. Вектор $\vec{BO_1} = (\frac{a}{2} - a, \frac{a}{2} - 0, a - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a)$. Вектор $\vec{C_1B} = (a - a, 0 - a, 0 - a) = (0, -a, -a)$. Скалярное произведение: $$\vec{BO_1} \cdot \vec{C_1B} = (-\frac{a}{2}) \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot (-a) + a \cdot (-a) = 0 - \frac{a^2}{2} - a^2 = -\frac{3a^2}{2}$$ Надеюсь, теперь тебе стало понятнее! Если что, спрашивай ещё!