На рисунке BO = KO и OM = OC. Докажите, что: 1) ΔBOM = ΔKOC; 2) BM = KC и ∠KMB = ∠BCK; 3) ΔBMK = ΔKCB.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. Это классические задания на признаки равенства треугольников. ### Задача 62 **Доказательство:** 1) В треугольниках $BOM$ и $KOC$: $BO = KO$, $OM = OC$ (по условию), $\angle BOM = \angle KOC$ (как вертикальные), следовательно, $\triangle BOM = \triangle KOC$ (по первому признаку равенства треугольников). 2) Так как $\triangle BOM = \triangle KOC$, то: а) $\angle OMB = \angle OCK$ (лежат против соответственно равных сторон $BO$ и $KO$), значит, и $\angle KMB = \angle BCK$ (очевидно, тут имелось в виду равенство соответствующих углов при $BM$ и $KC$). б) $BM = KC$ (лежат против равных углов $BOM$ и $KOC$ — вертикальных). 3) Рассмотрим треугольники $BMK$ и $KCB$ (проведите отрезок $BK$). В треугольниках $BMK$ и $KCB$: $BM = KC$ (см. п. 2 доказательства), $\angle KMB = \angle BCK$ (см. п. 2), $KM = KO + OM = BO + OC = BC$ (так как $BO=KO, OM=OC$). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников $\triangle BMK = \triangle KCB$, что и требовалось доказать. --- ### Задача 63 **Решение:** 1) Так как расстояние между двумя точками равно длине соединяющего их отрезка, то $BM = 5$ см, а найти требуется длину отрезка $AK$. Проведём отрезки $BM$ и $AK$. Сравним треугольники $AOK$ и $BOM$. Так как точка $O$ — середина отрезков $AB$ и $MK$, то $OA = OB$ и $OM = OK$. 2) Углы $AOK$ и $BOM$ вертикальные, поэтому $\angle AOK = \angle BOM$. 3) Следовательно, $\triangle AOK = \triangle BOM$ (по первому признаку равенства треугольников). 4) Из равенства треугольников следует, что $AK = BM$, значит, $AK = 5$ см. **Ответ: 5 см.**