Реши уравнение: 1) √(6 - x) = x

1) Давай решим уравнение $\sqrt{6 - x} = x$.\begin{enumerate} \item Сначала возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: $(\sqrt{6 - x})^2 = x^2$, тогда $6 - x = x^2$. \item Теперь перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 + x - 6 = 0$. \item Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, нам нужно найти два числа, которые в сумме дают -1, а в произведении -6. Это числа 3 и -2. Так что уравнение можно разложить на множители: $(x + 3)(x - 2) = 0$. \item Получаем два возможных решения: $x = -3$ или $x = 2$. \item Теперь проверим каждое из решений, подставив их в исходное уравнение $\sqrt{6 - x} = x$. а) Если $x = -3$, то $\sqrt{6 - (-3)} = \sqrt{9} = 3$, но $x = -3$, то есть $3 \neq -3$. Значит, $x = -3$ не подходит. б) Если $x = 2$, то $\sqrt{6 - 2} = \sqrt{4} = 2$, и $x = 2$. Значит, $x = 2$ подходит. \end{enumerate} **Ответ: x = 2** 2) Давай решим уравнение $\sqrt{x + 2} = 3x - 4$. \begin{enumerate} \item Возведём обе части в квадрат: $(\sqrt{x + 2})^2 = (3x - 4)^2$, тогда $x + 2 = 9x^2 - 24x + 16$. \item Перенесём всё в одну сторону: $9x^2 - 25x + 14 = 0$. \item Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 14 = 625 - 504 = 121$. Так что $\sqrt{D} = 11$. \item Найдём корни: $x_1 = \frac{25 + 11}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2$ $x_2 = \frac{25 - 11}{2 \cdot 9} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$ \item Проверим каждый корень, подставив их в исходное уравнение $\sqrt{x + 2} = 3x - 4$. а) Если $x = 2$, то $\sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$, и $3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$. Значит, $x = 2$ подходит. б) Если $x = \frac{7}{9}$, то $\sqrt{\frac{7}{9} + 2} = \sqrt{\frac{7}{9} + \frac{18}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$, и $3 \cdot \frac{7}{9} - 4 = \frac{7}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{5}{3}$. Так как $\frac{5}{3} \neq -\frac{5}{3}$, то $x = \frac{7}{9}$ не подходит. \end{enumerate} **Ответ: x = 2** 3) Давай решим уравнение $\sqrt{16 - x} = x - 10$. \begin{enumerate} \item Возведём обе части в квадрат: $(\sqrt{16 - x})^2 = (x - 10)^2$, тогда $16 - x = x^2 - 20x + 100$. \item Перенесём всё в одну сторону: $x^2 - 19x + 84 = 0$. \item Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, нам нужно найти два числа, которые в сумме дают 19, а в произведении 84. Это числа 7 и 12. Так что уравнение можно разложить на множители: $(x - 7)(x - 12) = 0$. \item Получаем два возможных решения: $x = 7$ или $x = 12$. \item Проверим каждое из решений, подставив их в исходное уравнение $\sqrt{16 - x} = x - 10$. а) Если $x = 7$, то $\sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3$, и $7 - 10 = -3$. Так как $3 \neq -3$, то $x = 7$ не подходит. б) Если $x = 12$, то $\sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2$, и $12 - 10 = 2$. Значит, $x = 12$ подходит. \end{enumerate} **Ответ: x = 12** 4) Давай решим уравнение $\sqrt{4 - 2x} = x - 2$. \begin{enumerate} \item Возведём обе части в квадрат: $(\sqrt{4 - 2x})^2 = (x - 2)^2$, тогда $4 - 2x = x^2 - 4x + 4$. \item Перенесём всё в одну сторону: $x^2 - 2x = 0$. \item Вынесем x за скобки: $x(x - 2) = 0$. \item Получаем два возможных решения: $x = 0$ или $x = 2$. \item Проверим каждое из решений, подставив их в исходное уравнение $\sqrt{4 - 2x} = x - 2$. а) Если $x = 0$, то $\sqrt{4 - 2 \cdot 0} = \sqrt{4} = 2$, и $0 - 2 = -2$. Так как $2 \neq -2$, то $x = 0$ не подходит. б) Если $x = 2$, то $\sqrt{4 - 2 \cdot 2} = \sqrt{0} = 0$, и $2 - 2 = 0$. Значит, $x = 2$ подходит. \end{enumerate} **Ответ: x = 2** 5) Давай решим уравнение $\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 2x - 3$. \begin{enumerate} \item Возведём обе части в квадрат: $(\sqrt{x^2 + 3x - 3})^2 = (2x - 3)^2$, тогда $x^2 + 3x - 3 = 4x^2 - 12x + 9$. \item Перенесём всё в одну сторону: $3x^2 - 15x + 12 = 0$. \item Разделим обе части на 3: $x^2 - 5x + 4 = 0$. \item Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, нам нужно найти два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении 4. Это числа 1 и 4. Так что уравнение можно разложить на множители: $(x - 1)(x - 4) = 0$. \item Получаем два возможных решения: $x = 1$ или $x = 4$. \item Проверим каждое из решений, подставив их в исходное уравнение $\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 2x - 3$. а) Если $x = 1$, то $\sqrt{1^2 + 3 \cdot 1 - 3} = \sqrt{1 + 3 - 3} = \sqrt{1} = 1$, и $2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$. Так как $1 \neq -1$, то $x = 1$ не подходит. б) Если $x = 4$, то $\sqrt{4^2 + 3 \cdot 4 - 3} = \sqrt{16 + 12 - 3} = \sqrt{25} = 5$, и $2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$. Значит, $x = 4$ подходит. \end{enumerate} **Ответ: x = 4**