Как сделать обратную замену в неравенстве с заменой переменной t = x²-3x?

Привет! Сейчас помогу разобраться. Смотри, ты привёл неравенство к виду $\frac{2t^2 + 16t + 32}{t(t+2)} \ge 0$. 1. **Упростим числитель:** Вынесем 2 за скобки: $\frac{2(t^2 + 8t + 16)}{t(t+2)} \ge 0$. Заметим, что в скобках полный квадрат: $\frac{2(t+4)^2}{t(t+2)} \ge 0$. 2. **Анализ знаков:** $(t+4)^2$ всегда неотрицателен (квадрат числа). Значит, знак выражения зависит от знаков $t$ и $(t+2)$. 3. **Определим критические точки:** $t = 0$ и $t = -2$ (нули знаменателя). $t = -4$ (ноль числителя). 4. **Метод интервалов:** Отметим точки $-4$, $-2$, $0$ на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале. ----(-4)----(-2)----(0)----> 5. **Решение относительно t:** $t \in (-\infty, -4] \cup (-2, 0)$. 6. **Обратная замена:** Вспоминаем, что $t = x^2 - 3x$. Решаем два неравенства: a) $x^2 - 3x \le -4$ => $x^2 - 3x + 4 \le 0$. b) $-2 < x^2 - 3x < 0$. 7. **Решаем неравенство a):** $x^2 - 3x + 4 \le 0$. Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при $x^2$ положителен, то $x^2 - 3x + 4 > 0$ для всех $x$. Значит, неравенство $x^2 - 3x + 4 \le 0$ не имеет решений. 8. **Решаем неравенство b):** $-2 < x^2 - 3x < 0$ можно разбить на два неравенства: 1) $x^2 - 3x > -2$ => $x^2 - 3x + 2 > 0$. 2) $x^2 - 3x < 0$. 9. **Решаем неравенство 1):** $x^2 - 3x + 2 > 0$. Находим корни: $x^2 - 3x + 2 = 0$. $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. $x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1$, $x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$. Значит, $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$. 10. **Решаем неравенство 2):** $x^2 - 3x < 0$. $x(x - 3) < 0$. Корни: $x = 0$ и $x = 3$. Значит, $x \in (0, 3)$. 11. **Пересечение решений:** Ищем пересечение решений $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$ и $x \in (0, 3)$. Получаем: $x \in (0, 1) \cup (2, 3)$. **Ответ:** $x \in (0, 1) \cup (2, 3)$