Можно ли использовать дискриминант для 2t+16t+32?

Для выражения $2t^2 + 16t + 32$ можно использовать дискриминант, чтобы найти корни уравнения $2t^2 + 16t + 32 = 0$. Это поможет определить, имеет ли квадратное уравнение решения и какие это решения. Сначала упростим выражение, разделив обе части уравнения на 2: $$t^2 + 8t + 16 = 0$$ Теперь найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = 8$, $c = 16$: $$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$$ Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень. Найдем его по формуле: $$t = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2 \cdot 1} = -4$$ Таким образом, $2t^2 + 16t + 32 = 2(t+4)^2$ Теперь исходное неравенство можно переписать как: \frac{2(t+4)^2}{t(t+2)} \ge 0 Выражение $(t+4)^2$ всегда неотрицательно, поэтому знак дроби зависит от знака выражения $t(t+2)$. Находим нули знаменателя: $t = 0$ и $t = -2$. Определим знаки на интервалах: - $t < -4$: $(t+4)^2 > 0$, $t < 0$, $t+2 < 0$, значит, \frac{(t+4)^2}{t(t+2)} > 0 - $t = -4$: $(t+4)^2 = 0$, значит, \frac{(t+4)^2}{t(t+2)} = 0 - $-4 < t < -2$: $(t+4)^2 > 0$, $t < 0$, $t+2 < 0$, значит, \frac{(t+4)^2}{t(t+2)} > 0 - $-2 < t < 0$: $(t+4)^2 > 0$, $t < 0$, $t+2 > 0$, значит, \frac{(t+4)^2}{t(t+2)} < 0 - $t > 0$: $(t+4)^2 > 0$, $t > 0$, $t+2 > 0$, значит, \frac{(t+4)^2}{t(t+2)} > 0 Учитывая, что $(t+4)^2$ всегда больше или равно нулю, ищем значения $t$, при которых дробь больше или равна нулю. Важно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю ($t = 0$ и $t = -2$). Решением будут интервалы $t \in (-\infty; -4] \cup (-4; -2) \cup (0; +\infty)$. Или можно записать так: $t \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$. **Ответ:** $t \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$