Ты просишь доказать, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм, если на диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB = QD.

Для решения этой задачи нужно доказать, что в четырехугольнике $APCQ$ противоположные стороны параллельны и равны. Давай посмотрим, как это сделать! 1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По его свойствам, $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, а также $AB = CD$ и $BC = AD$. 2. Так как $PB = QD$ по условию, и $BD$ — диагональ, то можно выразить $BP = DQ$. 3. Рассмотрим треугольники $ABP$ и $CDQ$. У них: * $AB = CD$ (как противоположные стороны параллелограмма), * $\angle ABP = \angle CDQ$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$), * $BP = DQ$ (по условию). Следовательно, $\triangle ABP = \triangle CDQ$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 4. Из равенства треугольников следует, что $AP = CQ$ и $\angle BAP = \angle DCQ$. 5. Теперь рассмотрим треугольники $ADQ$ и $CBP$. У них: * $AD = BC$ (как противоположные стороны параллелограмма), * $\angle ADQ = \angle CBP$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$), * $DQ = BP$ (по условию). Следовательно, $\triangle ADQ = \triangle CBP$ по первому признаку равенства треугольников. 6. Из равенства треугольников следует, что $AQ = CP$ и $\angle DAQ = \angle BCP$. 7. Так как $\angle BAP = \angle DCQ$ и $\angle DAQ = \angle BCP$, то $AP \parallel CQ$ и $AQ \parallel CP$. Таким образом, в четырехугольнике $APCQ$ противоположные стороны попарно равны и параллельны, что доказывает, что $APCQ$ — параллелограмм. Ура, мы это сделали!