Реши неравенство (x²-3x-2)/(x²-3x+2) + (x²-3x+16)/(x²-3x) ≥ 0

Решим неравенство $$\frac{x^2-3x-2}{x^2-3x+2} + \frac{x^2-3x+16}{x^2-3x} \ge 0$$. **Решение:** 1. **Замена переменной:** Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t-2}{t+2} + \frac{t+16}{t} \ge 0$$ 2. **Приведение к общему знаменателю:** $$\frac{t(t-2) + (t+16)(t+2)}{t(t+2)} \ge 0$$ $$\frac{t^2 - 2t + t^2 + 18t + 32}{t(t+2)} \ge 0$$ $$\frac{2t^2 + 16t + 32}{t(t+2)} \ge 0$$ $$\frac{2(t^2 + 8t + 16)}{t(t+2)} \ge 0$$ $$\frac{2(t+4)^2}{t(t+2)} \ge 0$$ 3. **Анализ знаков:** Выражение $(t+4)^2$ всегда неотрицательно. Значит, знак дроби зависит от знака $t(t+2)$. * $t(t+2) > 0$ при $t \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$ * $t(t+2) < 0$ при $t \in (-2, 0)$ * $t = -4$ (числитель равен нулю) 4. **Обратная замена:** $x^2 - 3x = t$ * $x^2 - 3x < -2$ $x^2 - 3x + 2 < 0$ $(x-1)(x-2) < 0$ $x \in (1, 2)$ * $x^2 - 3x > 0$ $x(x-3) > 0$ $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$ * $x^2 - 3x = -4$ $x^2 - 3x + 4 = 0$ $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 < 0$. Значит, это уравнение не имеет решений. * $x^2 - 3x = 0$ $x(x-3) = 0$ $x = 0, x = 3$ * $x^2 - 3x = -2$ $x^2 - 3x + 2 = 0$ $(x-1)(x-2) = 0$ $x = 1, x = 2$ 5. **Объединение решений:** С учетом всех условий, решением неравенства является: $$x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty) \cup \{x \in (1;2)\}$$ **Ответ:** $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty) \cup \{1; 2\}$