Помоги решить задачи по геометрии из учебника: 1. Найди угол FOA, если ∠OAD = 34°. 2. Найди отрезок MN, если ON = 12 см и ∠NOM = 30°. 3. Докажи, что AK = BK.

Конечно, давай решим эти задачи вместе! 1. В этой задаче нам нужно найти угол $FOA$. Заметим, что $OA$ и $OD$ — это радиусы окружности, а значит, треугольник $OAD$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle ODA = \angle OAD = 34^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, значит, $\angle AOD = 180^\circ - 34^\circ - 34^\circ = 112^\circ$. Угол $FOA$ является смежным с углом $AOD$, а сумма смежных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle FOA = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. **Ответ: $\angle FOA = 68^\circ$** 2. В этой задаче дан прямоугольный треугольник $OMN$ (так как касательная всегда перпендикулярна радиусу в точке касания). Мы знаем, что $ON = 12$ см и $\angle NOM = 30^\circ$. Нам нужно найти $MN$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае, $OM$ — катет, лежащий против угла в $30^\circ$, а $ON$ — гипотенуза. Значит, $OM = \frac{1}{2}ON = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. Теперь, используя теорему Пифагора, найдем $MN$: $MN^2 = ON^2 - OM^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108$. Следовательно, $MN = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см. **Ответ: $MN = 6\sqrt{3}$ см** 3. В этой задаче нам нужно доказать, что $AK = BK$. Дано, что $\angle OAK = \angle OBK$. Так как $OA = OB$ (радиусы одной окружности), треугольники $OAK$ и $OBK$ имеют две равные стороны ($OA = OB$) и равные углы между ними ($\angle OAK = \angle OBK$). Следовательно, треугольники $OAK$ и $OBK$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что $AK = BK$. **Что и требовалось доказать.**