Реши уравнение (2024x² - 2025x + 1)(x² + 2025x + 2024) = 0 и найди произведение корней

**A1.** Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$. Для уравнения $x^2 - x - 20 = 0$: $a = 1$, $b = -1$, $c = -20$. Сумма корней квадратного уравнения равна $-b/a$. Значит, сумма корней равна $-(-1)/1 = 1$. **Правильный ответ: 3** **A2.** Решим уравнение $3x + 7 = 0$. $$3x = -7$$ $$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$$ Теперь надо понять, какому промежутку принадлежит $-2\frac{1}{3}$. $-2\frac{1}{3}$ находится между $-2\frac{1}{3}$ и $-2\frac{1}{3}$, значит, подходит промежуток $[-2\frac{2}{3}; -2\frac{1}{3}]$. Но такого промежутка нет среди предложенных. Ближайший подходящий — $[-2\frac{2}{3}; 1]$. **Правильный ответ: 2** **A3.** Решим уравнение $x^2 + 2x = 0$. Вынесем $x$ за скобку: $$x(x + 2) = 0$$ Значит, либо $x = 0$, либо $x + 2 = 0$, откуда $x = -2$. Меньший корень из двух найденных - это $-2$. **Правильный ответ: 3** **A4.** Решим уравнение $x^3 - 4x = 0$. Вынесем $x$ за скобку: $$x(x^2 - 4) = 0$$ Значит, либо $x = 0$, либо $x^2 - 4 = 0$, откуда $x^2 = 4$. Тогда $x = 2$ или $x = -2$. Итого, у уравнения три корня: $0$, $2$ и $-2$. **Правильный ответ: 4** **B1.** Найдём произведение корней уравнения $x^4 + 9x^3 + x^2 + 9x = 0$. Вынесем $x$ за скобку: $$x(x^3 + 9x^2 + x + 9) = 0$$ Значит, $x = 0$ — один из корней. Теперь разберёмся с $x^3 + 9x^2 + x + 9 = 0$. Сгруппируем слагаемые: $$(x^3 + 9x^2) + (x + 9) = 0$$ Вынесем общий множитель из каждой группы: $$x^2(x + 9) + 1(x + 9) = 0$$ Теперь вынесем $(x + 9)$ за скобку: $$(x^2 + 1)(x + 9) = 0$$ Значит, $x + 9 = 0$, откуда $x = -9$. А ещё $x^2 + 1 = 0$, то есть $x^2 = -1$. Но это невозможно, потому что квадрат числа не может быть отрицательным. Итак, у нас есть корни $0$ и $-9$. Произведение корней: $0 * (-9) = 0$. **Ответ: 0** **B2.** Укажем количество натуральных корней уравнения $x^4 - x^2 - 12 = 0$. Пусть $y = x^2$, тогда уравнение примет вид: $$y^2 - y - 12 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. $a = 1$, $b = -1$, $c = -12$. Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49$. Тогда корни: $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Теперь вернёмся к замене. $x^2 = 4$ или $x^2 = -3$. Если $x^2 = 4$, то $x = 2$ или $x = -2$. Если $x^2 = -3$, то корней нет, так как квадрат не может быть отрицательным. Натуральное число — это целое положительное число. Из найденных корней ($2$ и $-2$) только $2$ является натуральным числом. **Ответ: 1** **C1.** Решим уравнение $\frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0$. Заметим, что $x^2 - 2x = -\frac{3}{x^2 - 2x - 2}$. Сделаем замену: $y = x^2 - 2x - 2$, тогда $x^2 - 2x = y + 2$. Получаем: $$y + 2 = -\frac{3}{y}$$ $$y(y + 2) = -3$$ $$y^2 + 2y + 3 = 0$$ Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * 3 = 4 - 12 = -8$. Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. **Ответ: нет решений** **C2.** Найдём произведение корней уравнения $(2024x^2 - 2025x + 1)(x^2 + 2025x + 2024) = 0$. Рассмотрим каждое уравнение отдельно: 1) $2024x^2 - 2025x + 1 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно $c/a = \frac{1}{2024}$. 2) $x^2 + 2025x + 2024 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно $c/a = 2024$. Теперь найдём произведение всех корней: $$\frac{1}{2024} * 2024 = 1$$ **Ответ: 1**