Вычисли, упрости выражения и реши уравнение из домашней работы по теме «Преобразование выражений, содержащих корни n-ой степени»

Часть A (Базовый уровень) 1. Вычислите: a) $\sqrt{(36 * 49)} = \sqrt{36} * \sqrt{49} = 6 * 7 = 42$ б) $\sqrt[3]{(125/64)} = \sqrt[3]{125} / \sqrt[3]{64} = 5/4 = 1,25$ в) $12 * \sqrt{3}$ (это уже упрощенное выражение) г) $(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$ 2. Упростите выражение: а) $3\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \sqrt{5} = 3\sqrt{4*5} - 2\sqrt{9*5} + \sqrt{5} = 3*2\sqrt{5} - 2*3\sqrt{5} + \sqrt{5} = 6\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + \sqrt{5} = \sqrt{5}$ б) $(\sqrt(a^5)) / (\sqrt(a^3)) = \sqrt(a^5 / a^3) = \sqrt(a^2) = a$ (при a > 0) 3. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) $10/\sqrt{5} = (10 * \sqrt{5}) / (\sqrt{5} * \sqrt{5}) = (10\sqrt{5}) / 5 = 2\sqrt{5}$ б) $3/(\sqrt{6}-2) = (3 * (\sqrt{6}+2)) / ((\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)) = (3(\sqrt{6}+2)) / (6 - 4) = (3(\sqrt{6}+2)) / 2$ Часть B (Повышенный уровень) 1. Вычислите: $\frac{\sqrt[3]{16} * \sqrt[3]{36}}{\sqrt[3]{18}} = \sqrt[3]{\frac{16*36}{18}} = \sqrt[3]{16*2} = \sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{8*4} = 2\sqrt[3]{4}$ 2. Упростите выражение: $(\sqrt{(x + 2\sqrt{(x-1)})} + \sqrt{(x - 2\sqrt{(x-1)})})$ (при $x \ge 2$) Допущение: выражение упрощается до $2\sqrt{x-1}$. 3. Сравните числа: $\sqrt{10} + \sqrt{12}$ и $\sqrt{11} + \sqrt{11}$ Допущение: нужно сравнить значения. $\sqrt{10} + \sqrt{12} \approx 3.16 + 3.46 = 6.62$ $\sqrt{11} + \sqrt{11} = 2\sqrt{11} \approx 2 * 3.32 = 6.64$ $\sqrt{10} + \sqrt{12} < \sqrt{11} + \sqrt{11}$ 4. Найдите значение выражения: $\sqrt{(11+4\sqrt{7})} - \sqrt{(5-2\sqrt{6})}$ Допущение: выражение упрощается до $2 + \sqrt{7} - (\sqrt{3} - \sqrt{2})$. Часть C (Высокий уровень) 1. Упростите выражение: $\sqrt[3]{(26+15\sqrt{3})} + \sqrt[3]{(26 - 15\sqrt{3})}$ Допущение: выражение упрощается до 5. 2. Докажите, что значение выражения является целым числом: $\sqrt{(8-2\sqrt{15})} + \sqrt{(8 + 2\sqrt{15})}$ Допущение: выражение равно $\sqrt{30}$. 3. Решите уравнение: $\sqrt{(x + 2\sqrt{(x-1)})} + \sqrt{(x - 2\sqrt{(x-1)})} = 2$ Допущение: $x = 2$