Реши неравенство 1) $16x^2 - 8x + 1 > 0$

3. Чтобы решить неравенство $12 - 7(x+5) < 16 - 4x$, сначала раскроем скобки: $12 - 7x - 35 < 16 - 4x$. Затем упростим выражение: $-7x - 23 < 16 - 4x$. Перенесем известные в одну сторону, а неизвестные в другую: $-7x + 4x < 16 + 23$, $-3x < 39$. Разделим обе части на -3, не забыв изменить знак неравенства, так как делим на отрицательное число: $x > -13$. Ответ: $x > -13$. 4. Решим неравенства: 1) $16x^2 - 8x + 1 > 0$. Это можно переписать как $(4x - 1)^2 > 0$. Квадрат любого числа всегда положителен или равен нулю. Значит, неравенство выполняется везде, кроме точки, где $4x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{4}$. Ответ: $x \neq \frac{1}{4}$. 2) $3x^2 - x + 2 \leq 0$. Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23$. Так как дискриминант отрицательный, и коэффициент при $x^2$ (тройка) положителен, парабола всегда выше оси $x$, и неравенство $3x^2 - x + 2 \leq 0$ не имеет решений. Ответ: нет решений. 8. Найдем значение выражения $(d^2)^5 \cdot d^{-8}$ при $d = -21$. Сначала упростим выражение, используя свойства степеней: $(d^2)^5 \cdot d^{-8} = d^{2 \cdot 5} \cdot d^{-8} = d^{10} \cdot d^{-8} = d^{10 - 8} = d^2$. Теперь подставим $d = -21$: $(-21)^2 = 441$. Ответ: 441. 6) $\sqrt{54} \cdot 12 \cdot \sqrt{32} \cdot 12 = \sqrt{54 \cdot 32} \cdot 12 \cdot 12 = \sqrt{2 \cdot 27 \cdot 2 \cdot 16} \cdot 144 = \sqrt{4 \cdot 27 \cdot 16} \cdot 144 = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{27} \cdot 144 = 8 \cdot \sqrt{9 \cdot 3} \cdot 144 = 8 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot 144 = 24 \sqrt{3} \cdot 144 = 3456\sqrt{3}$. 12. Найдем значение выражения $\frac{6a}{7c} - \frac{36a^2 + 49c^2}{42ac} + \frac{7c - 36a}{6a}$ при $a = 77$, $c = 69$. Сначала упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $42ac$: $\frac{6a}{7c} - \frac{36a^2 + 49c^2}{42ac} + \frac{7c - 36a}{6a} = \frac{6a \cdot 6a}{42ac} - \frac{36a^2 + 49c^2}{42ac} + \frac{(7c - 36a) \cdot 7c}{42ac} = \frac{36a^2 - 36a^2 - 49c^2 + 49c^2 - 252ac}{42ac} = \frac{-252ac}{42ac}$. Сократим дробь: $\frac{-252ac}{42ac} = -6$. Выражение не зависит от $a$ и $c$, поэтому ответ всегда будет -6. Ответ: -6. 20. Решим уравнение $x^3 + 5x^2 = 16x + 80$. Перенесем все в одну сторону: $x^3 + 5x^2 - 16x - 80 = 0$. Сгруппируем слагаемые: $(x^3 + 5x^2) - (16x + 80) = 0$, $x^2(x + 5) - 16(x + 5) = 0$, $(x^2 - 16)(x + 5) = 0$. Разложим на множители: $(x - 4)(x + 4)(x + 5) = 0$. Значит, $x = 4$, $x = -4$ или $x = -5$. Ответ: $x = 4, -4, -5$. 21. Два велосипедиста одновременно отправились в 180-километровый велопробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч больше, чем второй, и прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость (в км/ч) второго велосипедиста. Пусть $v$ - скорость второго велосипедиста, тогда скорость первого $v + 2$. Время, которое второй велосипедист тратит на весь путь, равно $\frac{180}{v}$, а время первого - $\frac{180}{v+2}$. Из условия задачи известно, что первый велосипедист приезжает на 1 час раньше, значит: $\frac{180}{v} - \frac{180}{v+2} = 1$. Умножим обе части уравнения на $v(v+2)$, чтобы избавиться от дробей: $180(v+2) - 180v = v(v+2)$, $180v + 360 - 180v = v^2 + 2v$, $v^2 + 2v - 360 = 0$. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 4 + 1440 = 1444 = 38^2$. $v = \frac{-2 \pm 38}{2}$. $v_1 = \frac{-2 + 38}{2} = \frac{36}{2} = 18$, $v_2 = \frac{-2 - 38}{2} = \frac{-40}{2} = -20$. Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость второго велосипедиста 18 км/ч. Ответ: 18 км/ч. 22. Постройте график функции $y = 5 - \frac{x^5 + 3x^4}{3x^2 + x^3}$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y = p$ имеет с графиком две общие точки. Для начала упростим функцию: $y = 5 - \frac{x^4(x + 3)}{x^2(3 + x)} = 5 - \frac{x^4}{x^2} = 5 - x^2$, при условии $x \neq 0$ и $x \neq -3$. График - парабола $y = 5 - x^2$ с выколотыми точками в $x = 0$ и $x = -3$. $y(0) = 5 - 0^2 = 5$, $y(-3) = 5 - (-3)^2 = 5 - 9 = -4$. Значит, у нас парабола с вершиной в точке $(0, 5)$ и выколотыми точками $(0, 5)$ и $(-3, -4)$. Прямая $y = p$ имеет с графиком две общие точки, когда она проходит через вершину параболы (кроме выколотой точки) или через выколотую точку. В данном случае вершина уже выколота, поэтому рассмотрим только случай с выколотой точкой $(-3, -4)$. Значит, прямая $y = -4$ имеет две общие точки с графиком (одна точка выколота). Также прямая касается параболы в вершине (0,5) , но эта точка выколота, поэтому решения нет. Ответ: $p = -4$.