Реши задачи по геометрии: в первой найди отрезок MH, во второй найди углы треугольника DBC, в третьей найди <DBC и <АСК, где K – середина BD, в четвертой найди углы треугольника ABC.

Задача №1. В равнобедренном треугольнике ABC к основанию AC проведена высота BH, равная 6 см, точка M – середина боковой стороны BC. Найдите отрезок MH, если <ABC равен 120°. Решение: Допущение: Поскольку треугольник равнобедренный и BH - высота, то BH также является и биссектрисой угла ABC. Значит, угол HBA равен половине угла ABC, то есть 120° / 2 = 60°. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём угол ABH = 60°, значит, угол BAH = 90° - 60° = 30°. 2. Так как M - середина BC, то MH - медиана, проведённая к гипотенузе BC в прямоугольном треугольнике BHC. Значит, MH = 1/2 BC. 3. В прямоугольном треугольнике ABH катет BH лежит против угла в 30°, значит, AB = 2 * BH = 2 * 6 = 12 см. 4. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC = AB = 12 см. 5. Следовательно, MH = 1/2 BC = 1/2 * 12 = 6 см. **Ответ: MH = 6 см.** Задача №2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD, внешний угол при вершине B равен 110°. Найдите углы треугольника DBC. Решение: 1. Внешний угол при вершине B равен 110°, значит, внутренний угол ABC равен 180° - 110° = 70°. 2. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании AC равны. Обозначим их как угол BAC = угол BCA = x. Тогда 70° + x + x = 180°, откуда 2x = 110°, и x = 55°. 3. BD - медиана, проведённая к основанию AC равнобедренного треугольника, поэтому она также является и биссектрисой угла ABC. Значит, угол DBC = 70° / 2 = 35°. 4. Теперь рассмотрим треугольник DBC. Угол DBC = 35°, угол DCB = 55°. Следовательно, угол BDC = 180° - 35° - 55° = 90°. **Ответ: углы треугольника DBC равны 35°, 55° и 90°.** Задача №3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведен отрезок BD так, что BC=CD, точка D принадлежит отрезку AC, <A равен 46°: a) Найдите <DBC; б) Найдите <ACK, где K – середина BD. Решение: а) Найдите \(\angle DBC\): 1. \(\triangle ABC\) равнобедренный, значит, \(\angle A = \angle C = 46^\circ\). 2. \(\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 46^\circ - 46^\circ = 88^\circ\). 3. \(BC = CD\), значит, \(\triangle BCD\) равнобедренный с основанием BD. Тогда \(\angle DBC = \angle BDC\). 4. \(\angle C = 46^\circ\) — внешний угол \(\triangle ABD\). \(\angle C = \angle DBC + \angle BDC\). Тогда \(\angle DBC = \frac{1}{2} \angle C = \frac{46^\circ}{2} = 23^\circ\). б) Найдите \(\angle ACK\), где K – середина BD: 1. Т.к. K – середина BD, то AK - медиана в \(\triangle ABD\). 2. В \(\triangle ABD\) \(\angle A = 46^\circ\), \(\angle ADB = 180^\circ - 46^\circ - 23^\circ = 111^\circ\). 3. Сумма углов, прилежащих к стороне BD, равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle BDC = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ\). 4. Рассмотрим \(\triangle BCK\): \(\angle C = 46^\circ\), \(\angle CBK = 23^\circ\), тогда \(\angle BKC = 180^\circ - 46^\circ - 23^\circ = 111^\circ\). 5. \(\angle AKC\) - смежный с \(\angle BKC\), а значит \(\angle AKC = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ\). **Ответ: а) \(\angle DBC = 23^\circ\); б) \(\angle ACK = 69^\circ\).** Задача №4. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. Угол, образованный этой медианой с боковой стороной треугольника, равен 40°. Допущение: Угол, образованный медианой с боковой стороной, это угол между медианой BD и стороной BC. То есть \(\angle DBC = 40^\circ\). Решение: 1. Т.к. \(\triangle ABC\) равнобедренный и BD - медиана, то BD также является биссектрисой. Следовательно, \(\angle ABC = 2 \cdot \angle DBC = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ\). 2. \(\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\). **Ответ: углы треугольника \(\triangle ABC\) равны \(80^\circ\), \(50^\circ\) и \(50^\circ\).**