Можешь доказать, что при любом натуральном n значение выражения (n + 1)² - (n - 1)² делится на 4?

Конечно, сейчас помогу! Нам нужно доказать, что при любом натуральном $n$ значение выражения делится на указанное число. Давай разберём каждый пункт по очереди: а) $(n + 1)^2 - (n - 1)^2$ делится на 4. Раскроем скобки и упростим выражение: $$(n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1) = n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1 = 4n$$ Так как $4n$ делится на 4, утверждение верно. б) $(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2$ делится на 8. Раскроем скобки и упростим выражение: $$(4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 - 4n + 1) = 4n^2 + 12n + 9 - 4n^2 + 4n - 1 = 16n + 8$$ Вынесем 8 за скобки: $8(2n + 1)$. Так как $8(2n + 1)$ делится на 8, утверждение верно. в) $(3n + 1)^2 - (3n - 1)^2$ делится на 12. Раскроем скобки и упростим выражение: $$(9n^2 + 6n + 1) - (9n^2 - 6n + 1) = 9n^2 + 6n + 1 - 9n^2 + 6n - 1 = 12n$$ Так как $12n$ делится на 12, утверждение верно. г) $(5n + 1)^2 - (2n - 1)^2$ делится на 7. Раскроем скобки и упростим выражение: $$(25n^2 + 10n + 1) - (4n^2 - 4n + 1) = 25n^2 + 10n + 1 - 4n^2 + 4n - 1 = 21n^2 + 14n$$ Вынесем 7 за скобки: $7(3n^2 + 2n)$. Так как $7(3n^2 + 2n)$ делится на 7, утверждение верно.