Ты просишь решить неравенства: lg²x - 2lgx - 3 < 0 и log₀.₅²x + log₀.₅x - 2 > 0

Давай решим эти неравенства! **Неравенство B) $lg^2x - 2lgx - 3 < 0$** 1. **Замена переменной:** * Пусть $t = lgx$ , тогда неравенство примет вид: $$t^2 - 2t - 3 < 0$$ 2. **Решение квадратного неравенства:** * Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 2t - 3 = 0$: $$D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ $$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$ 3. **Интервалы:** * Квадратное неравенство $t^2 - 2t - 3 < 0$ выполняется между корнями, то есть при $-1 < t < 3$. 4. **Обратная замена:** * Вернемся к переменной $x$: $$-1 < lgx < 3$$ 5. **Решение относительно x:** * Преобразуем неравенство, используя свойства логарифма: $$10^{-1} < x < 10^3$$ $$0.1 < x < 1000$$ **Неравенство Г) $log_{0.5}^2 x + log_{0.5} x - 2 > 0$** 1. **Замена переменной:** * Пусть $t = log_{0.5} x$, тогда неравенство примет вид: $$t^2 + t - 2 > 0$$ 2. **Решение квадратного неравенства:** * Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + t - 2 = 0$: $$D = 1^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9$$ $$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$$ 3. **Интервалы:** * Квадратное неравенство $t^2 + t - 2 > 0$ выполняется вне корней, то есть при $t < -2$ или $t > 1$. 4. **Обратная замена:** * Вернемся к переменной $x$: $$log_{0.5} x < -2 \quad или \quad log_{0.5} x > 1$$ 5. **Решение относительно x:** * Преобразуем неравенства, используя свойства логарифма и учитывая, что основание логарифма меньше 1 (знак неравенства меняется): $$x > (0.5)^{-2} \quad или \quad x < (0.5)^1$$ $$x > 4 \quad или \quad x < 0.5$$ * Учитываем, что $x$ должен быть больше нуля (из определения логарифма): $x > 0$. **Ответ:** * B) $0.1 < x < 1000$ * Г) $0 < x < 0.5$ или $x > 4$ Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!