Ты просишь доказать, что если M - середина отрезка AB, то OM перпендикулярна AB и наоборот.

Точки $A$ и $B$ лежат на сфере с центром $O$, причем $O$ не принадлежит отрезку $AB$. Точка $M$ лежит на отрезке $AB$. Нужно доказать: а) Если $M$ — середина отрезка $AB$, то $OM \perp AB$. б) Если $OM \perp AB$, то $M$ — середина отрезка $AB$. Решение: а) Допустим, что $M$ — середина отрезка $AB$. Это значит, что $AM = MB$. Так как $O$ — центр сферы, то $OA = OB$ (как радиусы). Получается, что треугольник $OAB$ равнобедренный с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой. Значит, $OM$ перпендикулярна $AB$ ($OM \perp AB$). б) Теперь допустим, что $OM \perp AB$. Опять же, $OA = OB$ (радиусы сферы), и треугольник $OAB$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. Значит, $OM$ является медианой, и $AM = MB$. Это означает, что $M$ — середина отрезка $AB$. **Ответ:** доказано.